Choc élastique entre deux solides
Partie
Question
Un projectile \(P_1\) (point matériel de masse \(m_1\)) animé d'une vitesse \(\overrightarrow{v_1}\), suivant un axe \(x'x\), est envoyé sur une cible \(P_2\) (point matériel de masse \(m_2\)), initialement au repos. Le choc est parfaitement élastique et après ce choc, \(P_1\) suit à la vitesse \(\overrightarrow{v_1}'\), une trajectoire rectiligne de direction \(\theta\) avec l'axe \(x'x\) et, \(P_2\) animé d'une vitesse \(\overrightarrow{v_2}'\) dans la direction \(\varphi\) par rapport à \(x'x\).
Aide simple
Appliquer les lois de conservation dans les problèmes de chocs entre deux solides.
Aide détaillée
La loi de conservation de la quantité de mouvement se traduit par :
\((\textrm{ avant choc })~ m_{1}\overrightarrow{v_1} = m_{1}\overrightarrow{v_1}' + m_{2}\overrightarrow{v_2}' ~(\textrm{ apr\`es choc})\)
La loi de conservation de l'énergie cinétique s'exprime par :
\((\textrm{ avant choc })~ m_{1}v_{1}^{2} = m_{1}v_1'^{2} + m_{2}v_{2}'^{2} ~(\textrm{ apr\`es choc})\)
Cherchez à identifier les expressions de \(m_{2}^{2} ~v_{2}'^{2}\) dans les deux lois de conservation.
Solution simple
La loi de conservation de la quantité de mouvement fournit l'expression :
\(m_{2}v_{2}'^{2} = m_{1}^{2}\left(v_{1}^{2} + v_{1}'^{2} - 2 v_{1}v_{1}' \cos \theta \right)\)
La loi de conservation de l'énergie cinétique donne pour :
\(m_{2}v_{2}'^{2} = m_{1}m_{2} \left(v_{1}^{2} - v_{1}'^{2} \right)\)
L'égalité de ces deux relations conduit à :
\(v_{1}'^{2}\left(m_{1} + m_{2}\right) - \left(2m_{1}v_{1} \cos \theta \right) v_{1}' + \left(m_{1} - m_{2}\right) v_{1}^{2} = 0\)
Solution détaillée
La loi de conservation de la quantité de mouvement se traduit par :
\((\textrm{ avant choc })~ m_{1}\overrightarrow{v_1} = m_{1}\overrightarrow{v_1}' + m_{2}\overrightarrow{v_2}' ~(\textrm{ apr\`es choc})\)
Projection sur \(Ox\) : \(v_{1} = m_{1} v_{1}' \cos \theta + m_{2} v_{2}' \cos \varphi\)
Projection sur \(Oy\) : \(0 = m_{1} v_{1}' \sin \theta + m_{2} v'_{2} \sin \varphi\)
L'élimination de l'angle \(\varphi\) dans les deux relations donne
\(m_{2}v_{2}'^{2} \left( \cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi \right) = m_{2} v_{2}'^{2} = \left(m_{1}v_{1} - m_{1}v_{1}' \cos \theta \right)^{2} + m_{1}^{2} v_{1}'^{2} \sin^{2} \varphi\)
après simplification
\(m_{2}v_{2}'^{2} = m_{1}^{2} \left(v_{1}^{2} + v_{1}'^{2} - 2 v_{1}v_{1}' \cos \theta \right)\)
La loi de conservation de l'énergie cinétique conduit à :
\((\textrm{ avant choc })~ \frac{1}{2} ~m_{1}v_{1}^{2} = \frac{1}{2} ~m_{1}v_1'^{2} + \frac{1}{2}~m_{2}v_{2}'^{2} ~(\textrm{ apr\`es choc})\)
d'où
\(m_{2}v_{2}'^{2} = m_{1}m_{2} \left(v_{1}^{2} - v_{1}'^{2} \right)\)
L'égalité des relations (1) et (2) fournissent l'équation du second degré, fonction de \(\theta\), vérifié par \(v_{1}'.\)
\(m_{1}^{2} \left(v_{1}^{2} + v_{1}'^{2} - 2 v_{1}v_{1}' \cos \theta \right) = m_1m_2 \left( v_{1}^{2} - v_{1}'^{2} \right)\)
\((m_{1} + m_{2}) v_{1}'^{2} - (2m_{1}v_{1} \cos \theta) v_{1}' + (m_1 - m_2)v_{1}^{2} = 0\)
\(m_1\), \(m_2\) et \(v_1\) étant connus, mais remarquons que \(v_{1}'\) dépend de \(\theta\) selon cette équation du second degré.
Question
Dans le cas où les masses du projectile \(P_1\) et de la cible \(P_2\) sont identiques : \(m_1 = m_2 = m\), montrer que \(\overrightarrow{v_1}' . \overrightarrow{v_2}' = 0\) et en déduire les trajectoires de \(P_1\) et \(P_2\) après le choc.
Aide simple
Utiliser les lois de conservation.
La loi de conservation de la quantité de mouvement, ainsi simplifiée, sera employée sous sa forme vectorielle : \(\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v_1}' + \overrightarrow{v_2}'\)
Aide détaillée
Elever au carré l'équation vectorielle : \(\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v_1}' + \overrightarrow{v_2}'\) (1)
et l'associer à : \({v_1}^{2} = {v_{1}'}^{2} + {v_{2}'}^{2}\) (1')
Faire apparaître \(\overrightarrow{v_1}' . \overrightarrow{v_2}' = 0\) (2')
Différents cas de solutions sont à envisager.
Solution simple
En élevant la relation (1') au carré et en retranchant (2'), il vient \(\overrightarrow{v_1}' . \overrightarrow{v_2}' = 0\)
1er cas : \(\overrightarrow{v_1}' = \overrightarrow{v_1}\) pas d'interaction.
2ème cas : \(\overrightarrow{v_2}' = \overrightarrow{v_1}\) choc direct élastique.
3ème cas : \(\overrightarrow{v_1}' . \overrightarrow{v_2}' = 0\) avec \(\overrightarrow{v_1}' \ne \overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{v_2}' \ne \overrightarrow{0}\) les trajectoires des deux points matériels font un angle direct.
Solution détaillée
Elevons au carré (1') et retranchons (2') :
\(\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v_1}' + \overrightarrow{v_2}' \Rightarrow {v_1}^{2} = \left( \overrightarrow{v_1}' + \overrightarrow{v_2}' \right)^{2} = {v_{1}'}^{2} + {v_{2}'}^{2} + 2 \overrightarrow{v_1}'. \overrightarrow{v_2}'\)
d'où \((1') - (2') \Rightarrow \overrightarrow{v_1}' . \overrightarrow{v_2}' = 0\)
1er cas :
\(\overrightarrow{v_2}' = \overrightarrow{0}\) alors \(\overrightarrow{v_1}' = \overrightarrow{v_1}\) . Il n'y a pas eu interaction.
2ème cas :
\(\overrightarrow{v_1}' = \overrightarrow{0}\) par suite \(\overrightarrow{v_2}' = \overrightarrow{v_1}\) . C'est le choc direct élastique ou de "plein fouet", le projectile \(P_1\) s'immobilise, la cible \(P_2\) emporte toute la quantité de mouvement et les trajectoires sont colinéaires.
3ème cas :
\(\overrightarrow{v_1}' \ne \overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{v_2}' \ne \overrightarrow{0}\) . La condition \(\overrightarrow{v_1}' . \overrightarrow{v_2}' = 0\) entraîne que les vecteurs \(\overrightarrow{v_1}'\) et \(\overrightarrow{v_2}'\) sont orthogonaux. Donc après le choc, les trajectoires des deux points matériels font un angle droit.
Ces trois cas de figures sont illustré ci-dessous :