Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

Domaine de définition \(D_{f} : \quad D_{f} = ]0 ;+\infty[\)

Etude aux limites de \(D_{f} \quad : \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty}\) ; \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}\)

L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe

Branche parabolique de direction \(Ox\).

Fonctions dérivées : \(f'(x) = \frac{1}{x} \left(\frac{\sqrt{x} - 2}{2}\right) \quad \textrm{min} (4,2(1-\ln 2))\)

\(f''(x) = \frac{1}{4x^{2}} \left(4-\sqrt{x} \right)\) point d'inflexion \((16 ;4(1-\ln2))\)

Graphe : image à faire

a.Domaine de définition \(D_{f}\)

\(x \mapsto \sqrt{x}\) défini pour \(x \ge 0\) et \(x \mapsto \ln x\) défini pour \(x > 0\) d'où \(D_{g} = ]0 ;+\infty[\)

b.Etude aux limites du domaine \(D_{f}\).

Quand \(x \mapsto 0^{+}\) ; \(\sqrt{x} \to 0^{+}\) ; \(\ln x \to -\infty \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty}\)

L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe .

Quand \(x \mapsto +\infty ; \sqrt{x} \to + \infty ; \ln x \to +\infty \textrm{ et } f(x) \approx \infty - \infty\)

(forme indéterminée).On lève cette indétermination en posant

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x} - \ln x\right) = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} \left(1-\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right) \approx \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = \infty}}}}\)

car \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0 \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}}\)

or \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\ln x}{x}\right) = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\ln x}{x}\right) = 0}}}\)

d'où il existe une branche parabolique de direction \(Ox\) .

c.Fonctions dérivées

\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \frac{\left(\sqrt{x}-2\right)}{2} \quad f'(x) = 0 \textrm{ pour } x=4\)

\(\textrm{ et } f(4) = 2(1-\ln 2) \approx \mathrm{0,61}\)

\(f''(x) = -\frac{1}{4 x \sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4 x^{2}}(4-\sqrt{x}) \quad f''(x) = 0 \textrm{ pour } x= 16\)

\(\textrm{ et } f(16) = 4 (1-\ln 2) \approx \mathrm{1,22}\)

\(\textrm{ puis } f'(16) = \frac{1}{16} \frac{\left(\sqrt{16} - 2\right)}{2} = \frac{1}{16}\)

Nous avons un extremum en \((4,2(1-\ln2))\) \(\textrm{(minimum)}\) et un point d'inflexion en \((16,4(1-\ln2))\)

d.Tableau de variations à inserer

e.Graphe à inserer

(Remettre le graphe de 3,14 )

Domaine de définition \(D_{g} \quad : D_{g} = ]0,+\infty[\)

Etude aux limites de \(D_{g} \quad : \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}}g(x) = 0^{-}}\) ; \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty}\)

Branche parabolique de direction \(Ox\)

Fonctions dérivées : \(g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \left(\frac{\ln x + 2}{2}\right) \textrm{ min} \left(\frac{1}{e^{2}}, \frac{-2}{e}\right)\)

\(g''(x) = \frac{-\ln x}{4x \sqrt{x}}\) point d'inflexion \((1,0)\)

Graphe

figure à faire

a. Domaine de définition \(D_{g}\)

\(x \mapsto \sqrt{x}\) défini pour \(x \ge 0\) et \(x \mapsto \ln x\) défini pour \(x>0\) \(\Big\}\) d'ou \(D_{g} = ]0 ;+\infty[\)

b. Etude aux limites du domaine \(D_{g}\).

Quand \(x \mapsto 0^{+} \quad ; \sqrt{x} \to 0^{+}\quad ; \ln x \to -\infty \textrm{ et }\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} g(x) = 0^{-}}\) (car \(\sqrt{x}>\ln x\) pour tout \(x>0\) )

La pente de la courbe quand \(x\to 0^{+}\) est définie par le rapport :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} \frac{g(x)}{x} = \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} \ln x}{x} = \displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = -\infty}}}\)

(la demi –tangente a l'origine est verticale )

quand \(x \to +\infty ; \sqrt{x} \to +\infty, \ln x \to +\infty \textrm{ et } \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty}\)

or \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0 (\sqrt{x} >\ln x \textrm{ pour tout }x >0)}}\)

d'où il existe une branche parabolique de direction \(Ox\)

c. Fonctions dérivées.

\(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} . \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \left(\frac{\ln x + 2}{2}\right)\) \(g'(x) = 0 \textrm{ pour } x = e^{-2} = \frac{1}{e^{2}} \approx \mathrm{0,14}\)

et \(g\left(\frac{1}{e^{2}}\right) = \frac{-2}{e} \approx \mathrm{0,74}\)

\(g''(x) = -\frac{1}{4} \frac{\ln x}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \frac{1}{2x^{\tfrac{3}{2}}} -\frac{1}{2x^{\tfrac{3}{2}}}= \frac{- \ln x}{4x \sqrt{x}} \quad g''(x) = 0 \textrm{ pour } x = 1\)

et \(g(1) = 0 \textrm{ puis } g'(1) = 1\)

Nous avons un extremum en \(\left(\frac{1}{e^{2}},\frac{-2}{e}\right)\) \(\textrm{ (minimum) }\) et un point d'inflexion en \((1,0)\)

d. Intersection avec les axes de coordonnées : \(g(x) = 0 ~\textrm{ pour } ~x=0 \textrm{ et } x=1\)

e. Tableau de variations à inserer

f. Graphe à inserer

(Remettre le graphe de 3,14 )

Domaine de définition \(D_{h}\) : \(D_{h} = ]0 ;+\infty[\)

Etude aux limites de \(D_{h}\) : \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} h(x) = -\infty}\) ; \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0}\)

les axes \(Ox\) et \(Oy\) sont asymptotes à la courbe .

Fonctions dérivées :

\(h'(x) = \frac{2- \ln x}{2x \sqrt{x}} \qquad \textrm{max}\left(e^{2}, \frac{2}{e}\right)\)

\(h''(x) = \frac{-\sqrt{x}~(8-3 \ln x)}{4x^{3}} \textrm{ pt inflexion } \left(e^{\tfrac{8}{3}},\frac{8}{3}e^{\tfrac{4}{3}}\right)\)

Graphe à inserer

a. Domaine de définition \(D_{h}\).

\(x \mapsto \sqrt{x}\) défini pour \(x\ge 0\) et \(x \mapsto \ln x\) défini pour \(x>0\) \(\Big\}\) d'ou \(D_{h} = ]0, +\infty[\)

le dénominateur doit étre différent de \(0\).

b. Etude aux limites du domaine \(D_{h}\).

Quand \(x \mapsto 0^{+}\) ; \(\sqrt{x} \to 0^{+}\)  ; \(\ln x \to -\infty\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} h(x) = -\infty}\) ,l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe .

Quand \(x \mapsto +\infty\) ; \(\sqrt{x} \to +\infty\)  ; \(\ln x \to +\infty\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0}\) (car \(\sqrt{x}>\ln x\) pour tout \(x>0\) ), l'axe des abscisses est asymptote a la courbe .

c. Fonctions dérivées.

\(h'(x) = \frac{(\ln x)' \sqrt{x} - \ln x (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^{2}} = \frac{2-\ln x}{2 x \sqrt{x}} \quad h'(x) = 0 \textrm{ pour } x = e^{2} \approx \mathrm{7,4}\)

\(\textrm{ et } h(e^{2}) = \frac{2}{e} \approx \mathrm{0,74}\)

\(\begin{array}{ll}h''(x) &= \frac{1}{2} \left[x^{\tfrac{-3}{2}} (2-\ln x)\right]' = \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{2} x^{\tfrac{-5}{2}} (2-\ln x) + x^{-\tfrac{3}{2}} \left(-\frac{1}{x}\right)\right] \\ &=-\frac{x^{-\tfrac{5}{2}}}{2 \times 2} (8-3 \ln x) = -\frac{\sqrt{x}}{4x^{3}} (8-3 \ln x)\quad h''(x) = 0 \quad \textrm{ pour } x = e^{\tfrac{8}{3}} \approx \mathrm{14,4}\end{array}\)

et \(h\left(e^{\tfrac{8}{3}}\right) = \frac{8}{3 e^{\tfrac{4}{3}}} \approx \mathrm{0,70}\) puis \(h'\left(e^{\tfrac{8}{3}}\right) = -\frac{1}{3e^{4}} \approx - \mathrm{0,006}\)

Nous avons un extremum en \(\left(e^{2},\frac{2}{e}\right)\) \((\textrm{maximum})\) et un point d'inflexion en \(\left(e^{\tfrac{8}{3}}, \frac{8}{3 e^{\tfrac{4}{3}}}\right)\)

puis \(h'\left(e^{\tfrac{8}{3}}\right) =- \frac{1}{3 e^{4}} \approx -\mathrm{0,006}\)

d. Intersection avec les axes de coordonnées : \(h(x)=0\) pour \(x=1\)

e. Tableau de variations à inserer

f. Graphe à inserer

(Remettre le graphe de 3,14)