Intégration par décomposition
Cette méthode est basée sur la propriété suivante :
L'intégrale d'une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales. Si la fonction \(f(x)\) à intégrer est la somme des fonctions, \(f_1(x), f_2(x),\ldots\) qui admettent respectivement pour primitives \(F_1(x), F_2(x),\ldots\) alors
\(\begin{array}{r c l}F(x)&=&\int f(x)dx=\int (f_1(x)+f_2(x)+\ldots)dx\\&=&\int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx+\ldots\\&=&F_1(x)+F_2(x)+\ldots+C\end{array}\)
Exemple : Intégration par décomposition
\(\begin{array}{r c l}\color{red}I&=&\int\frac{(1-\sqrt x)^2}{\sqrt[3]{x}}dx=\int\frac{1-2\sqrt x+x}{\sqrt[3]{x}}dx\\&=&\int(x^{-\frac{1}{3}}-2x^{\frac{1}{6}}+x^{\frac{2}{3}})dx\\&=&\color{red}\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-\frac{12}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} +C\\\color{red}J&=&\int\frac{x-3}{x+1}dx=\int\frac{x+1-4}{x+1}dx\\&=&\int(1-\frac{4}{x+1})dx=\int dx-4\int\frac{dx}{x+1}\\&=&\color{red}x-4\ln|x+1|+C\\\color{red}K&=&\int_0^{\pi/4}\tan^2xdx=\int_0^{\pi/4}(\tan^2x+1-1)dx\\&=&\int_0^{\pi/4}(\tan^2x+1)dx-\int_0^{\pi/4}dx=[\tan x-x]_0^{\pi/4}\\&=&\tan\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\color{red}1-\frac{\pi}{4}\\\end{array}\)