Physique
Précédent
Suivant
Intégration par parties
Cas des primitives

La méthode d'intégration par parties est basée sur la formule de la différentielle du produit de deux fonctions d'une variable et :

On suppose que : et sont des fonctions continues de avec

alors :

ou

et

Cette méthode est employée quand le calcul de est plus simple que celui de

Exemple : Primitivation par parties

Calculer

on pose

alors

d'où :

Cas des intégrales

Si et possèdent des dérivées continues sur l'intervalle alors l'intégration de la fonction sur conduit à :

d'où

Exemple : Intégration par parties cas des intégrales

Calculer

on pose

alors

d'où :

Application de l'intégration par parties

Forme : polynôme de degré

1ère méthode

Appliquer plusieurs fois la méthode d'intégration par parties en prenant pour afin d'abaisser le degré de

Démonstration : Méthode de la double intégration

On considère la forme est un polynôme de degré

Posons

d'où

L'intégration par parties se poursuit jusqu'à l'obtention d'une primitive de la forme avec

Exemple

Intégration de

Calculer

Intégration par parties en posant :

, d'où :

Calculons par parties en posant

, d'où :

et

2ème méthode

La primitive de la fonction est de la forme est un polynôme de même degré que Après dérivation de la forme primitive et identification à on détermine les coefficients de

Démonstration : Méthode d'identification

On considère la forme est un polynôme de degré

Cherchons une primitive sous la forme :

d'où par dérivation :

L'identification conduit à :

permet de déterminer les coefficients relatifs aux puissances de du polynôme

Exemple

Intégration de

Calculer

Cherchons la primitive sous la forme :

d'où par dérivation :

Par identification de nous avons :

et

d'où

Forme ou

1ère méthode

Appliquer plusieurs fois la méthode d'intégration par parties en prenant ou pour afin d'abaisser le degré de ou

Démonstration : Méthode de la double intégration

On considère la forme est un polynôme de degré

Posons

d'où :

L'intégration par parties se poursuit pour abaisser le degré du polynôme

Exemple

Intégration de ou

Calculer

Posons

d'où

2ème méthode

Par identification en cherchant une primitive sous la forme générale :

et sont des polynômes de degré

Après dérivation de la forme primitive et identification à ou à on détermine les coefficients de et

Démonstration : Méthode d'identification

On considère la forme est un polynôme de degré

Cherchons une primitive sous la forme générale :

Par dérivation nous obtenons :

L'identification conduit au système :

qui permettra de déterminer les polynômes et

Exemple

Intégration de ou

Calculons

Cherchons la primitive sous la forme :

par dérivation :

et identification à :

d'où

Forme ou

1ère méthode

Intégrer deux fois pour retrouver l'intégrale de départ.

Démonstration : Méthode de la double intégration

On considère la forme

Posons :

d'où :

Calculons par intégration par parties

Posons :

d'où :

et

Exemple

Intégration de ou

Calcul de l'intégrale

1ère intégration par parties :

Posons ,

d'où :

2ème intégration par parties :

Calcul de

Posons , d'où

donc

et

2ème méthode

Par identification, en cherchant une primitive

sous la forme générale

Après dérivation de la forme primitive et identification à ou à on détermine les coefficients et

Démonstration : Méthode d'identification Exemple

On considère la forme

Cherchons une primitive sous la forme générale :

Par dérivation nous obtenons :

L'identification conduit au système :

et

Exemple

Intégration de ou

Calcul de l'intégrale

Posons la forme d'une primitive de

Par dérivation de et en identifiant à nous déterminons et D'où

Par identification à :

d'où et

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)