| Intégration des fonctions rationnelles |
Une fraction (ou fonction) rationnelle est une fonction
quotient de deux fonctions polynômes :
où
les coefficients
et
seront des constantes réelles.les degrés de
et de
sont des nombre entiers positifs ou nuls
et
La forme la plus générale, de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle
dans
est donnée par :
où
et
;
deux à deux distincts
deux à deux distincts :
avec
appelée partie entière ou polynôme quotient de
par
pour la division euclidienne
existe si degré de
degré de
appelée somme d'éléments simples de 1ère espèce, relative au pôle réel
d'ordre
appelée somme d'éléments simples de 2ème espèce, relative au couple de pôles complexes conjugués
d'ordre
Les primitives d'une fraction rationnelle
s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition.
Primitivation de la partie entière
Les primitives d'un polynôme de degré
sont des polynômes de degré
:
La décomposition en éléments simple de
admet pour partie entière
d'où par intégration
Primitivation des éléments simples de 1ère espèce
Le pôle
est un réel fixé,
et
entier
La décomposition en éléments simples de
admet pour éléments simples de 1ère espèce
et
Par intégration nous obtenons :
Primitivation des éléments simples de 2ème espèce
où
et
sont des constantes réelles et
entier
Utilisons le changement de variable :
donc
l'élément différentiel devient :
Ce changement de variable nous conduit au calcul des primitives :
et
Calcul de
si
si
Posons
d'où
et
Calcul de
si
si
Chercher une formule de récurrence, ramenant le calcul de
à celui de
supposé effectué jusqu'à
connu.Partons de
et intégrons par parties en posant : 
d'où
puisque
nous avons :
d'où la formule de récurrence, pour
entier
:
Sachant que
calculons :
On trouvera
etc
On peut calculer l'intégrale d'une fraction rationnelle irréductible
sur tout intervalle fermé
à condition que
Les méthodes d'intégration sont semblables à celles de la recherche des primitives.
La décomposition en éléments simples de :
admet pour éléments simples de 2ème espèce (au signe près)
et
Par intégration nous obtenons pour :
or
et
d'où
or
et
Avec
et
En écrivant
or
et
qui s'intègre par parties
En posant
Alors :
d'où
Soit
donc :
Calcul de
or
d'où
