Physique
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Intégration des fonctions rationnelles
Définition

Une fraction (ou fonction) rationnelle est une fonction quotient de deux fonctions polynômes :

  • les coefficients et seront des constantes réelles.

  • les degrés de et de sont des nombre entiers positifs ou nuls et

Exemple : Fractions rationnelles

Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle sur R.

La forme la plus générale, de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle dans est donnée par :

  • et

  • ;

  • deux à deux distincts

  • deux à deux distincts :

avec

  • appelée partie entière ou polynôme quotient de par pour la division euclidienne existe si degré de degré de

  • appelée somme d'éléments simples de 1ère espèce, relative au pôle réel d'ordre

  • appelée somme d'éléments simples de 2ème espèce, relative au couple de pôles complexes conjugués d'ordre

Exemple : Décomposition de fraction rationnelles

Calcul des primitives

Les primitives d'une fraction rationnelle s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition.

  • Primitivation de la partie entière

    Les primitives d'un polynôme de degré sont des polynômes de degré :

Exemple : Primitive d'une partie entière

La décomposition en éléments simple de

admet pour partie entière d'où par intégration

  • Primitivation des éléments simples de 1ère espèce

    Le pôle est un réel fixé, et entier

Exemple : Primitive des éléments simples de 1ère espèce

La décomposition en éléments simples de

admet pour éléments simples de 1ère espèce et

Par intégration nous obtenons :

  • Primitivation des éléments simples de 2ème espèce

    et sont des constantes réelles et entier

    Utilisons le changement de variable :

    donc

    l'élément différentiel devient :

    Ce changement de variable nous conduit au calcul des primitives :

    et

Exemple : Calcul de Im

Calcul de

  • si

  • si

    Posons d'où et

Exemple : Calcul de Jm

Calcul de

  • si

  • si

    Chercher une formule de récurrence, ramenant le calcul de à celui de supposé effectué jusqu'à connu.

    Partons de et intégrons par parties en posant :

    d'où

    puisque

    nous avons :

    d'où la formule de récurrence, pour entier :

    Sachant que calculons :

    On trouvera

    etc

Calcul des intégrales

On peut calculer l'intégrale d'une fraction rationnelle irréductible sur tout intervalle fermé à condition que Les méthodes d'intégration sont semblables à celles de la recherche des primitives.

Exemple : Primitive des éléments simples de 2 ème espèce

La décomposition en éléments simples de :

admet pour éléments simples de 2ème espèce (au signe près)

et

Par intégration nous obtenons pour :

or

et

d'où

or

et

Avec et

En écrivant

or

et qui s'intègre par parties

En posant

Alors :

d'où

Soit

donc :

Exemple : Intégration d'une fonction rationnelle

Calcul de

or

d'où

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