Intégration des fonctions rationnelles
Définition :
Une fraction (ou fonction) rationnelle est une fonction \(f(x),\) quotient de deux fonctions polynômes :
\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\alpha_px^p+\alpha_{p-1}x^{p-1}+\ldots+\alpha_1x+\alpha_0}{\beta_qx^q+\beta_{q-1}x^{q-1}+\ldots+\beta_1x+\beta_0}\)
où
les coefficients \(\alpha_i\) et \(\beta_j\) seront des constantes réelles.
les degrés de \(P(x) = p\) et de \(Q(x) = q\) sont des nombre entiers positifs ou nuls \(( \alpha_p \geq 0\) et \(\beta_q \geq 0).\)
Exemple : Fractions rationnelles
\(f_1(x)=4x^3-x+7\)
\(f_2(x)=\frac{1}{x^3+1}\)
\(f_3(x)=\frac{x^4+2}{x^3+1}\)
\(f_4(x)=\frac{x+3}{(x-1)^4(x^2-2x+3)^3}\)
Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle sur R.
La forme la plus générale, de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle \(f(x),\) dans \(\mathbb R,\) est donnée par :
\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\color{blue}E(x)\color{black}+\sum_{i=1}^n\color{red}\sum_{\lambda=1}^{r_i}\frac{A_{i,\lambda}}{(x-a_i)^{\lambda}}\color{black}+\sum_{k=1}^m\color{green}\sum_{\mu=1}^{s_k}\frac{B_{k,\mu}x+C_{k,\mu}}{[(x-\alpha_k)^2+\beta_k^2]^{\mu}}\)
où
\(n\) et \(m \in\mathbb N\)
\(r_1, \ldots, r_n\) ; \(s_1, \ldots, s_m \in\mathbb N^*\)
\(a_1, \ldots, a_n \in\mathbb R\) deux à deux distincts
\((\alpha_1, \beta_1), \ldots, (\alpha_m, \beta_m) \in\mathbb R^2\) deux à deux distincts : \([x-(\alpha_k+j\beta_k)][x-(\alpha_k-j\beta_k)]=[(x-\alpha_k)^2+\beta_k^2]\)
avec
\(\color{blue}E(x)\color{black} = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \ldots + \alpha_1x + \alpha_0\)
appelée partie entière ou polynôme quotient de \(P(x)\) par \(Q(x)\) pour la division euclidienne \((E(x)\) existe si degré de \(P(x) \geq\) degré de \(Q(x)).\)
\(\color{red}\sum_{\lambda=1}^{r_i}\frac{A_{i,\lambda}}{(x-a_i)^{\lambda}}\color{black}=\frac{A_{i,1}}{x-a_i}+\frac{A_{i,2}}{(x-a_i)^2}+\ldots+\frac{A_{i, r_i}}{(x-a_i)^{r_i}}\)
appelée somme d'éléments simples de 1ère espèce, relative au pôle réel \(a_i,\) d'ordre \(r_i.\)
\(\color{green}\sum_{\mu=1}^{s_k}\frac{B_{k,\mu}x+C_{k,\mu}}{[(x-\alpha_k)^2+\beta_k^2]^{\mu}}\color{black}=\frac{B_{k,1}x+C_{k,1}}{[(x-\alpha_k)^2+\beta_k^2]}+\frac{B_{k,2}x+C_{k,2}}{[(x-\alpha_k)^2+\beta_k^2]^2}+\ldots+\frac{B_{k,S_k}x+C_{k,S_k}}{[(x-\alpha_k)^2+\beta_k^2]^{S_k}}\)
appelée somme d'éléments simples de 2ème espèce, relative au couple de pôles complexes conjugués \(\alpha_i \pm j \beta_k,\) d'ordre \(s_k.\)
Exemple : Décomposition de fraction rationnelles
\(\color{red}f_5(x)\color{black}=\frac{x^4}{x^2-2x-8}=\frac{x^4}{(x-4)(x+2)}=\color{red}x^2+2x+12+\frac{128}{3(x-4)}-\frac{8}{3(x+2)}\)
\(\color{red}f_6(x)\color{black}=\frac{x^5}{(x-1)(x^3-1)}=\frac{x^5}{(x-1)^2(x^2+x+1)}=\\\color{red}x+1+\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{4}{3}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{3}\frac{x}{x^2+x+1}\)
\(f_7(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x+2}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x-2)(x-1)}=\color{red}1+\frac{5}{x-2}\)
\(f_8(x)=\frac{1}{x(x^2+x+1)^2}=\color{red}\frac{1}{x}-\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\)
Calcul des primitives
Les primitives d'une fraction rationnelle \(f(x)\) s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition.
Primitivation de la partie entière \(\color{blue}E(x)\)
Les primitives d'un polynôme de degré \(n\) sont des polynômes de degré \((n + 1)\) :
\(\int(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0)dx = \frac{a_n}{n+1}x ^{n+1}+\frac{a_{n-1}}{n}x^n+\ldots+\frac{a_1}{2}x^2+a_0x+C\)
Exemple : Primitive d'une partie entière
La décomposition en éléments simple de
\(f_5(x)=\frac{x^4}{(x-4)(x+2)}=x^2+2x+12+\frac{128}{3(x-4)}-\frac{8}{3(x+2)}\)
admet pour partie entière \(E(x) = x^2 + 2x + 12,\) d'où par intégration
\(\color{red}\int E(x)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+12x+C\)
Primitivation des éléments simples de 1ère espèce \(\int\frac{A}{(x-a)^n}dx\)
Le pôle \(a\) est un réel fixé, \(A \in\mathbb R\) et \(n\) entier \(\geq 1\)
\(\int\frac{Adx}{(x-a)^n}=\begin{cases}si~~\color{green}n=1~~\color{red}\int\frac{Adx}{(x-a)}=A\ln|x-a|+C~~\color{black}pour~~x\neq a\\si~~\color{green}n>1~~\color{red}\int\frac{Adx}{(x-a)^n}=\frac{A}{1-n}\frac{1}{(x-a)^{n-1}}+C~~\color{black}pour~~x\neq a\end{cases}\)
Exemple : Primitive des éléments simples de 1ère espèce
La décomposition en éléments simples de
\(f_6(x)=\frac{x^5}{(x-1)^2(x^2+x+1)}\\=x+1+\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{4}{3}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{3}\frac{x}{x^2+x+1}\)
admet pour éléments simples de 1ère espèce \(\frac{4}{3}\frac{1}{x-1}\)et \(\frac{1}{3}\frac{1}{(x-1)^2}.\)
Par intégration nous obtenons :
\(\frac{4}{3}\int\frac{dx}{x-1}=\color{red}\frac{4}{3}\ln|x-1|+C_1\)
\(\frac{1}{3}\int\frac{dx}{(x-1)^2}=\color{red}-\frac{1}{3}\frac{1}{x-1}+C_2\)
Primitivation des éléments simples de 2ème espèce \(\int\frac{Bx+C}{[(x-\alpha)^2+\beta^2]^n}dx\)
où \(\alpha,\) \(\beta,\) \(B\) et \(C\) sont des constantes réelles et \(m\) entier \(\geq 1.\)
Utilisons le changement de variable :
\(t=\frac{x-\alpha}{\beta}\Leftrightarrow x=\alpha+\beta t\)donc \(dx = \beta dt\)
l'élément différentiel devient :
\(\frac{Bx+C}{[(x-\alpha)^2+\beta^2]^m}dx=\frac{B(\alpha+\beta t)+C}{(1+t^2)^m}\frac{dt}{\beta^{2m-1}}\\=\frac{B}{\beta^{2m-2}}\frac{tdt}{(1+t^2)^m}+\frac{B\alpha+C}{\beta^{2m-1}}\frac{dt}{(1+t^2)^m}\)
Ce changement de variable nous conduit au calcul des primitives :
\(\color{red}I_m=\int\frac{tdt}{(1+t^2)^m}\) et \(\color{red}J_m=\int\frac{dt}{(1+t^2)^m}\)
Exemple : Calcul de Im
Calcul de \(I_m=\int\frac{tdt}{(1+t^2)^m}\)
si \(\color{blue}m = 1\)
\(\boxed{I_1=\int\frac{tdt}{(1+t^2)}=\color{red}\frac{1}{2}\ln(1+t^2)+C}\)
si \(\color{blue}m > 1\)
\(I_m=\int\frac{tdt}{(1+t^2)^m}\)
Posons \(u = 1 + t^2\) d'où \(du = 2t dt,\) et
\(I_m=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^m}=\frac{1}{2(1-m)}\frac{1}{u^{m-1}}+C\)
\(\boxed{\color{red}I_m=\frac{1}{2(1-m)}\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}+C}\)
Exemple : Calcul de Jm
Calcul de \(J_m=\int\frac{dt}{(1+t^2)^m}\)
si \(\color{blue}m = 1\)
\(\boxed{\color{red}J_1\color{black}=\int\frac{\not\exists tdt}{(1+t^2)}=\color{red}\arctan t+C}\)
si \(\color{blue}m > 1\)
Chercher une formule de récurrence, ramenant le calcul de \(J_m\) à celui de \(J_{m-1}\) supposé effectué jusqu'à \(J_1\) connu.
Partons de \(J_{m-1} = \int\frac{dt}{(1+t^2)^{m-1}}\)et intégrons par parties en posant :
\(\begin{array}{l l}u=\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}&dv=dt\\du=\frac{2(1-m)t}{(1+t^2)^m}dt&v=t\end{array}\)
d'où \(J_{m-1}=\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}+2(m-1)\int\frac{t^2dt}{(1+t^2)^m}\)
puisque \(\frac{t^2}{(1+t^2)^m}=\frac{(t^2+1)-1}{(1+t^2)^m}=\frac{1}{(1+t^2)^{m-1}}-\frac{1}{(1+t^2)^m}\)
nous avons : \(J_{m-1}=\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}+2(m-1)(J_{m-1}-J_m)\)
d'où la formule de récurrence, pour \(m\) entier \(>1\) :
\(\boxed{\color{red}J_m=\frac{2m-3}{2m-2}J_{m-1}+\frac{1}{2m-2}\frac{t}{(1+t^2)^{m-1}}}\)
Sachant que \(J_1 = \arctan t + C\) calculons :
\(J_2=\frac{2\times2-3}{2\times2-2}J_1+\frac{1}{2\times2-2}\frac{t}{(1+t^2)^{2-1}}+C\)
\(J_2=\frac12\arctan t+\frac{1}{2}\frac{t}{(1+t^2)}+C\)
On trouvera
\(J_3=\frac{3}{4}J_2+\frac{1}{4}\frac{t}{(1+t^2)^2}+C\)
\(J_3=\frac{3}{8}\arctan t+\frac{3}{8}\frac{t}{1+t^2}+\frac{1}{4} \frac{t}{(1+t^2)^2}+C\)
etc\(\cdots\)
Calcul des intégrales
On peut calculer l'intégrale d'une fraction rationnelle irréductible \(f(x) = P(x) / Q(x)\) sur tout intervalle fermé \([ a, b]\) à condition que \(\forall x_0 \in [ a, b] \Leftrightarrow Q(x_0) \neq 0.\) Les méthodes d'intégration sont semblables à celles de la recherche des primitives.
Exemple : Primitive des éléments simples de 2 ème espèce
La décomposition en éléments simples de :
\(f_8(x)=\frac{1}{x(x^2+x+1)^2}=\frac{1}{x}+\frac{(x+1)}{(x^2+x+1)^2}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\)
admet pour éléments simples de 2ème espèce (au signe près)
\(+\frac{x+1}{x^2+x+1}\)et\(+\frac{(x+1)}{(x^2+x+1)^2}\)
Par intégration nous obtenons pour :
\(+\int\frac{x+1}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(2x+1)+1}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2+x+1}\)
or \(\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx=\ln(x^2+x+1)+C_1\)
et \(\int\frac{dx}{x^2+x+1}=\int\frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt 3}{2})^2}=\frac{2}{\sqrt 3}\int\frac{\frac{2}{\sqrt 3}dx}{(\frac{2x+1}{\sqrt 3})^2+1}=\frac{2}{\sqrt 3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}+C_2\)
d'où \(\int\frac{x+1}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)+\frac{1}{\sqrt 3}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt 3})+C\)
\(\int\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(2x+1)+1}{(x^2+x+1)^2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}dx+\frac{1}{2}\frac{dx}{(x^2+x+1)^2}\)
or \(\boxed{\int\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}dx=-\frac{1}{(x^2+x+1)}+C_3}\)
et \(\int\frac{dx}{(x^2+x+1)^2}=\int\frac{dx}{[(x+\frac 12)^2+(\frac{\sqrt3}2)^2]^2}=\frac{16}9\int\frac{dx}{[(\frac{2x+1}{ \sqrt 3})^2+1]^2}=\frac{8}{3\sqrt3}\int\frac{du}{(1+u^2)^2}\)
Avec \(u=\frac{2x+1}{\sqrt3}\) et \(du=\frac{2dx}{\sqrt3}\)
En écrivant \(\int\frac{du}{(1+u^2)^2}=\int\frac{(1+u^2)-u^2}{(1+u^2)^2}du=\int\frac{du}{1+u^2}-\int\frac{u^2}{(1+u^2)^2}du\)
or \(\int\frac{du}{1+u^2}=\arctan (u)+C_4\)
et \(\int\frac{u^2}{(1+u^2)^2}du=\int\frac{u.udu}{(1+u^2)^2}\) qui s'intègre par parties
En posant \(\begin{array}{c c}w=u&dv=\frac{u~du}{(1+u^2)^2}\\dw=du&v=-\frac{1}{2(1+u^2)}\end{array}\)
Alors : \(\int\frac{u.udu}{(1+u^2)^2}=-\frac{u}{2(1+u^2)}+\int\frac{du}{2(1+u^2)}\)
\(=-\frac{u}{2(1+u^2)}+\frac12\arctan (u)+C_5\)
d'où \(\int\frac{du}{(1+u^2)^2}=\int\frac{du}{1+u^2}-\int\frac{u^2du}{(1+u^2)^2}=\frac12\arctan(u)+\frac{u}{2(1+u^2)}+C\)
Soit \(\int\frac{dx}{(x^2+x+1)^2}=\frac{8}{3\sqrt3}[\frac12\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}+\frac{\sqrt3}{8}\frac{2x+1}{x^2+x+1}]+C\)
\(\int\frac{dx}{(x^2+x+1)^2}=\frac4{3\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}+\frac13\frac{2x+1}{x^2+x+1}+C\)
donc :
\(\boxed{\int\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}dx=-\frac1{2(x^2+x+1)}+\frac2{3\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}+\frac16\frac{2x+1}{x^2+x+1}+C}\)
Exemple : Intégration d'une fonction rationnelle
Calcul de \(I=\int_{-1}^1\frac{x-1}{x^2+2x+5}dx\)
\(I=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\frac{2(x-1)}{x^2+2x+5}dx\)
\(=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\frac{(2x+2)-4}{x^2+2x+5}dx\)
\(=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\frac{2(x+1)}{x^2+2x+5}dx-2\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2+2x+5}\)
or \(\int\frac{2(x+1)}{x^2+2x+5}dx=\color{blue}\ln|x^2+2x+5|+C_1\)
\(\int\frac{dx}{x^2+2x+5}=\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{(\frac{x+1}{2})^2+1}\\=\color{blue}\frac12\arctan\frac{x+1}2+C_2\)
d'où \(I=[\frac12\ln|x^2+2x+5|-\arctan\frac{x+1}{2}]_{-1}^1\\=[\frac12\ln8-\arctan1]-[\frac12\ln4-\arctan0]\\\color{red}I=\frac12\ln2-\frac{\pi}{4}\)