Physique
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Intégration des fonctions trigonométriques

Primitivation des fonctions polynômes en

Forme :

  • si est impair, on peut poser

  • si est impair, on peut poser

  • si et sont impairs, on peut poser ou ou

  • si et sont pairs, on pourra linéariser, puis primitiver.

Exemple

Posons

d'où

Exemple

Posons

d'où

Exemple

Posons

d'où

Exemple

d'où :

Forme :

Transformer les produits en sommes par l'utilisation des formules trigonométriques :

Exemple

d'où

Exemple

d'où

Exemple

d'où

Primitivation des fractions rationnelles en

Forme :

Par changement de variable, on se ramène à la recherche de primitives d'une fraction rationnelle d'une variable

Méthode générale

Poser (pour et

sachant que ; ;

Nous obtenons qui est une fraction rationnelle en (dont la primitivation demande souvent de longs calculs).

Exemple

Posons d'où

avec et

et

(avec

Autres expressions :

ou ou

Méthode particulière : Règles de Bioche

Posons dx l'élément différentiel à primitiver.

  • si alors se calcule par le changement de variable

  • si alors se calcule par le changement de variable

  • si alors se calcule par le changement de variable

Cette méthode est à privilégier car elle simplifie "bien souvent" les calculs.

Exemple

Posons l'élément différentiel.

Comme

Posons d'où alors :

Exemple

Posons l'élément différentiel

Comme

Posons d'où alors :

d'où

Exemple

Posons l'élément différentiel

Comme

Posons d'où alors :

Formes particulières

Formes et

  • 1er cas : est pair poser

  • 2ème cas : est impair poser

Exemple

est pair :

Posons

d'où

Exemple

est impair :

Posons et

Sachant que nous obtenons :

Forme

  • 1er cas : est pair poser ( si est positif, ajouter et retrancher pour faire apparaître la différentielle de

  • 2ème cas : est impair poser ou ou

    (on préférera si et si

Exemple

est pair et positif:

Ajoutons et retranchons :

Exemple

est impair et négatif:

Posons

Intégration des fonctions polynômes et des fractions rationnelles en

Les méthodes d'intégration sont celles employées dans la recherche des primitives avec changement de bornes lors d'un changement de variable.

Exemple

Posons d'où

et avec les changements de bornes :

d'où

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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