Physique
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ED linéaires à coefficients constants, sans second membre
Définition

Une équation différentielle linéaire du 2ème ordre à coefficients constants, sans second membre est de la forme :

et sont des constantes et comme par simplification en posant et :

Théorème

Si et sont deux solutions linéairement indépendantes de , alors la solution générale de est :

et étant des constantes arbitraires

En effet : Pour tout de

solution de :

solution de :

En multipliant par et par et en additionnant :

On obtient pour tout :

Remarque

Les solutions et sont linéairement indépendantes si

Résolution

Soit à résoudre :

Par analogie aux équations différentielles linéaires du 1er ordre à coefficients constants, on cherche des solutions particulières du type :

et

d'où

soit en reportant dans :

Puisque ne s'annule jamais, est solution de l'équation du second degré :

Nous posons : son discriminant.

Types de résolutions suivant le signe de Δ

1er cas : , E.C. admet deux racines réelles distinctes :

et

L'intégrale générale est :

et

Démonstration : 1

Supposons et soit une racine de l'équation caractéristique :

Effectuons le changement de fonction inconnue dans l'équation : , d'où

et

La fonction vérifie donc l'équation :

or solution de E.C. entraîne que : , d'où

Cette équation linéaire du 1er ordre en s'intègre pour donner :

et

puis

or comme

Types de résolutions suivant le signe de Δ

2ème cas : , E.C. admet une racine réelle double :

L'intégrale générale est :

et

Démonstration : 2

Supposons et soit une racine double.

Le changement de fonction inconnue conduit aux dérivées

et

Portons dans l'équation , d'où

qui par simplification donne

car racine double vérifie et

Par intégrations successives, nous obtenons :

et la solution générale de est :

Types de résolutions suivant le signe de Δ

3ème cas : , E.C. admet deux racines complexes :

L'intégrale générale est :

et

Démonstration : 3

Supposons et soit les racines de l'équation caractéristique :

Le changement de fonction inconnue conduit aux dérivées successives :

et

Portons dans l'équation : , d'où

La fonction vérifie donc l'équation :

En remarquant que :

L'équation devient :

Cette équation admet pour solution :

et

En Physique, les coefficients et sont positifs et il est d'usage de poser :

( : coefficient d'amortissement)

( : pulsation propre du système oscillant)

alors l'équation différentielle, de variable t, en énergie libre, s'exprime par :

avec pour équation caractéristique :

(E.C.)

Nous poserons son discriminant réduit.

Discriminant réduit

Equation du 2ème degré :

Cette équation a pour discriminant :

et pour racines :

Dans le cas, où est pair, on pose :

et avec

Résolution de l'équation différentielle suivant le signe de Δ'
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