ED linéaires à coefficients constants, avec second membre [Équations différentielles du 2ème ordre]

ED linéaires à coefficients constants, avec second membre

Définition :

Une équation différentielle linéaire du 2ème ordre à coefficients constants, avec second membre, est de la forme :

(e) \(a y'' + b y' + c y = f(x)\) ou (E) \(y'' + A y' + B y = F(x)\)

où \(A\), \(B\) sont des coefficients constants et \(F(x)\) le second membre. A cette équation nous associons l'équation sans second membre :

(E_{0}) \(y'' + A y' + B y = 0\)

Théorème :

La solution générale \(y\) de (E) est la somme de la solution générale \(y_{H}\) de \((E_{0})\) et d'une solution particulière \(y_{p}\) de (E):

\(y = y_{H} + y_{P}\)

En effet, si \(y\) est solution générale de (E) alors

\(y''(x) + A y'(x) + B y(x) = F(x)\)

de même pour la solution particulière \(y_{p}\) de \((E_{0})\)

\(y_{p}''(x) + A y_{p}'(x) + B y_{p}(x) = F(x)\)

Par soustraction de ces deux équations :

\([y"(x) - y_{p}"(x)] + A [y'(x) - y_{p}'(x)] + B [y(x) - y_{p}(x)] = 0\)

\([y(x) - y_{p}(x)]'' + A [y(x) - y_{p}(x)]' + B [y(x) - y_{p}(x)] = 0\)

En posant \(y_{H} = y(x) - y_{p}(x)\), cette solution vérifie l'équation homogène \((E_{0})\) et par suite \(y = y_{H} + y_{p}\) .

Recherche de \(y_{H}\) solution générale de \((E_{0})\).

Nous avons trouvé précédemment, les solutions suivant le signe du discriminant de l'équation caractéristique \(r^{2} + Ar + B = 0\). La solution générale est \(y_{H} = K_{1} y_{1}(x) + K_{2} y_{2}(x)\) avec les constantes \(K_{1}\) et \(K_{2}\) et les deux solutions linéairement indépendantes \(y_{1}(x)\) et \(y_{2}(x)\) de \((E_{0})\).

Cas où \(\Delta >0\)	\(y_{H} = K_{1} e^{r_{1}x} + K_{2} e^{r_{2}x}\)	\(y_{1}(x) = e^{r_{1}x} \textrm{ et } y_{2} (x) = e^{r_{2}x}\)
Cas où \(\Delta =0\)	\(y_{H} = e^{rx} (K_{1} + K_{2})\)	\(y_{1}(x) = x e^{rx} \textrm{ et } y_{2}(x) = e^{rx}\)
Cas où \(\Delta <0\)	\(y_{H} = e^{\alpha x} (K_{1} \cos \beta x + K_{2} \sin \beta x)\)	\(y_{1}(x) = e^{\alpha x} \sin \beta x \textrm{ et } y_{2}(x) = e^{\alpha x} \sin \beta x\)

Recherche de \(y_{p}\) solution générale de (E).
Une des méthodes suivantes peut être utilisée :

Méthode générale de la "variation des constantes"

Nous considérons les constantes \(K_{1}\) et \(K_{2}\) comme des fonctions inconnues de \(x\) et cherchons la solution particulière \(y_{p}\) de l'équation (E) sous la forme :

\(y_{p}(x) = K_{1}(x) y_{1}(x) + K_{2}(x) y_{2}(x)\)

Calculons la dérivée première :

\(y_{p}'(x) = K_{1}'(x) y_{1}(x) + K_{2}'(x) y_{2}(x) + K_{1}(x) y_{1}'(x) + K_{2}(x) y_{2}'(x)\)

Puisque nous cherchons une solution particulière nous imposons la condition :

\(K_{1}'(x)y_{1}(x)+K_{2}'(x)y_{2}(x) = 0\) \(\mathbf{(1)}\)

et \(y_{p}'(x)\) devient \(y_{p}'(x) = K_{1}(x) y_{1}'(x) + K_{2}(x) y_{2}'(x)\). Par une nouvelle dérivation nous obtenons \(y_{p}''(x)\)

\(y_{p}''(x) = K_{1}(x) y_{1}''(x) + K_{2}(x) y_{2}''(x) + K_{1}'(x) y_{1}'(x) + K_{2}'(x) y_{2}'(x)\)

En portant dans (E) les expressions de \(y_{p}\), \(y_{p}'\) et \(y_{p}''\) nous avons l'équation :

\(K_{1}'(x)y'_{1}(x)+K_{2}'(x)y'_{2}(x) = F(x)\) \(\mathbf{(2)}\)

en tenant compte que les solutions \(y_{1}(x)\) et \(y_{2}(x)\) de \((E_{0})\) vérifient :

\(y_{1}''(x) + A y_{1}'(x) + B y_{1}(x) = 0\)

et \(y_{2}''(x) + A y_{2}'(x) + B y_{2}(x) = 0\)

Le système \(\mathbf{(1)} + \mathbf{(2)}\) permet de déterminer les fonctions \(K_{1}'(x)\) et \(K_{2}'(x)\) qui par intégration conduisent à \(K_{1}(x)\) et \(K_{2}(x)\) et à la solution particulière

\(y_{p}(x) = K_{1}(x) y_{1}(x) + K_{2}(x) y_{2}(x)\)

Résoudre \(y'' + y = \tan x\) (voir démonstration ci-dessous)

Méthode particulière des "coefficients indéterminés"

Suivant la forme du second membre, une méthode d'identification des coefficients permet de déterminer la solution particulière \(y_{p}\) de (E).

(E) \(y'' + A y' + B y = F(x)\)

Au niveau des exemples, appuyer sur les puces violettes pour visualiser les différentes étapes de la résolution.

F(x) = h (h : constante)
\(y_{p} = k\) (k :cste) si \(B \neq 0\)
\(y_{p} = kx\) (k : cste) si \(B = 0\) et \(A \neq 0\)
\(y_{p} = kx^{2}\) (k : cste) si \(B = A = 0\)
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[5], exemple 2^[6], exemple 3^[7].

F(x) = \(\textrm{P}_{n}(x)\) (\(\textrm{P}_{n}(x)\) : polynôme de degré n)
\(y_{p} = Q_{n}(x)\) Polynôme de degré n si \(B\neq 0\)
\(y_{p} = Q_{n+1}(x)\) Polynôme de degré n+1 si \(B = 0\) et \(A\neq 0\)
\(y_{p} = Q_{n+2}(x)\) Polynôme de degré n+2 si \(B = A = 0\)
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[8], exemple 2^[9], exemple 3^[10].

F(x) = \(\textrm{h.e}^{\alpha x}\) (\(\alpha\) et h \(\in\) \(\textrm{R}^{2}\))
\(y_{p} = \textrm{k.e}^{\alpha x}\) si \(\alpha\) n'est pas une racine de E.C.
\(y_{p} = \textrm{kx.e}^{\alpha x}\) si \(\alpha\) est racine simple de E.C.
\(y_{p} = \textrm{k}x^{2}\textrm{.e}^{\alpha x}\) si \(\alpha\) est racine double de E.C.
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[11], exemple 2^[12], exemple 3^[13].

F(x) = \(\textrm{P}_n{x}.e^{\alpha x}\) (\(\textrm{P}_{n}(x)\) : polynôme de degré n) et \(\alpha \in\) R
\(y_{p} = \textrm{Q}_\textrm{{n}(x)}\textrm{.e}^{\alpha x}\) Polynôme de degré n si \(\alpha\) n'est pas racine de E.C.
\(y_{p} = \textrm{Q}_\textrm{{n+1}(x)}\textrm{.e}^{\alpha x}\) Polynôme de degré n+1 si \(\alpha\) n'est pas racine de E.C.
\(y_{p} = \textrm{Q}_\textrm{{n+2}(x)}\textrm{.e}^{\alpha x}\) Polynôme de degré n+2 si \(\alpha\) n'est pas racine de E.C.
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[14], exemple 2^[15], exemple 3^[16].

F(x) = \(\textrm{C} \sin \beta x + \textrm{D} \cos \beta x\) (C et D \(\in \textrm{R}^{2}\) et \(\beta \in\) R*)
\(yp = \lambda \sin \beta x + \mu \cos \beta x\) si ± \(\textrm{j} \beta\) n'est pas racine de E.C.
\(yp = x (\lambda \sin \beta x + \mu \cos \beta x\)) si ± \(\textrm{j} \beta\) est racine de E.C.
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[17], exemple 2^[18].

F(x) = \(\textrm{e}^{\alpha x}\) (\(\textrm{C} \sin \beta x + \textrm{D} \cos \beta x\)) (C, D et \(\alpha \in \textrm{R}^{3}\) et \(\beta \in\) R*)
\(yp = \textrm{e} \alpha x\)(\(\textrm{l} \sin \beta x + \mu \cos \beta x\)) si a ± \(\textrm{j} \beta\) n'est pas racine de E.C.
\(yp = \textrm{xe} \alpha x\)(\(\alpha \sin \beta x + \mu \cos \beta x\)) si a ± \(\textrm{j} \beta\) est racine de E.C.
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[19], exemple 2^[20].

F(x) = \(\textrm{e}^{\alpha x}\) \((\textrm{P}_{\textrm{n}}(x) \sin \beta x + \textrm{Q}_{\textrm{m}}(x) \cos \beta x) ~~ ( \alpha \in~\textrm{R}~\textrm{et}~\beta \in~\textrm{R*} )\) où \(\textrm{P}_{\textrm{n}}(x)\) et \(\textrm{Q}_{\textrm{m}}(x)\) : polynômes de degré n et m
Posons \(\textrm{R}_{\textrm{p}}(x)\) et \(\textrm{S}_{\textrm{p}}(x)\) : polynômes de degré p = Max(n, m)
\(y_{p} = \textrm{e}^{\alpha x} (\textrm{R}_{\textrm{p}}(x) \sin \beta x + \textrm{S}_\textrm{p}(x) \cos \beta x)\) si a ± \(\textrm{j} \beta\) n'est pas racine de E.C.
\(y_{p} = \textrm{e}^{\alpha x} (\textrm{R}_{\textrm{p + 1}}(x) \sin \beta x + \textrm{S}_\textrm{p + 1}(x) \cos \beta x)\) si a ± \(\textrm{j} \beta\) est racine de E.C.
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[21], exemple 2^[22].

F(x) = \(\underset{i}{\sum} f_{i}~(x)\)
La solution particulière \(y_{p}\) de (E) est la somme des solutions particulières \(y_{pi}\) vérifiant les équations différentielles : (Ei) \(y_{pi"} + \textrm{A}~y_{pi'} + \textrm{B}~y_{pi} = f_{i}(x)\) ;
d'où : \(y_{p} = \underset{i}{\sum}~y_{pi}~(x)\)
Différents exemples proposés ici : exemple 1^[23], exemple 2^[24], exemple 3^[25].

Notes

Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{red}{E_{0}}) \qquad y" + y = 0\)
Equation caractéristique (E.C.)
\(r^{2} + 1 = 0 \qquad \qquad \Delta = -4 < 0\)
Racines de E.C.
\(r_{1} = -j\) et \(r_{2} = +j\)
Solution générale de (\(E_{0}\))
\(y_{H} = K_{1} \cos{x} + K_{2} \sin{x} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Système d'équations
\((\textcolor{red}{E}) \qquad y" + y = \tan{x}\)
Cherchons \(y_{p}\) sous la forme : \(y_{p} = K_{1} \cos{x} + K_{2} \sin{x}\)
dérivons \(y_{p}\) : \(y_{p}' = K_{1}'(x) \cos{x} + K_{2}' \sin{x} - K_{1}(x) \sin{x} + K_{2}(x) \cos{x}\)
Imposons la condition : \(K_{1}'(x) \cos{x} + K_{2}' \sin{x} = 0 \qquad (\color{red} 1 \color{black})\)
et redérivons \(y_{p}'\) : \(y_{p}" = -K_{1}' \sin{x} - K_{1}(x) \cos{x} + K_{2}'(x) \cos{x} - K_{2}(x) \sin{x}\)
Reportons les expressions de \(y_{p}"\) et \(y_{p}\) dans l'équation différentielle \((E)\).
Il reste après simplification : \(-K_{1}'(x) \sin{x} + K_{2}'(x) \cos{x} = \tan{x} \qquad (\color{red} 2 \color{black})\)
Intégration
Le système linéaire, formé par les équations (\(\textcolor{red}{1}\)) et (\(\textcolor{red}{2}\)) admet pour une solution : \(K_{1}'(x) = - \frac{\sin^{2}{x}}{\cos{x}}\) et \(K_{2}'(x) = \sin{x}\)
Par intégration, on obtient :
\(K_{1}(x) = \int~-\frac{\sin^{2}{x}}{\cos{x}}~\textrm{dx}~= \int~\frac{\cos^{2}{x} - 1}{\cos{x}}~\textrm{dx} = \sin{x} - \ln \left| \tan{\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}} \right|\)
\(K_{2}(x) = \int~\sin{x}~\textrm{dx} = - \cos{x}\)
La solution particulière \(y_{p}\) de (\(\textcolor{red}{E}\)) est donc \(y_{p} = K_{1}(x) \cos{x} + K_{2}(x) \sin{x} = \left( \sin{x} - \ln \left| \tan{\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) } \right| \right) \cos{x} + \sin{x}~(-\cos{x})\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = -\cos{x}~\ln \left| \tan{\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) } \right|}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l} y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1} \cos{x} + K_{2} \sin{x} - \cos{x}~\ln{ \left| \tan{ \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) } \right| } \end{array}\)
Résoudre y" - 3y' - 4y = 8
Solution générale de l'EESM
\((E_{0})~~y" - 3y' - 4y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 3r - 4 = 0\) avec \(\Delta = 25\)
Les racines sont : \(r_{1} = -1\) et \(r_{2} = 4\)
La solution est donc : \(y_{H} = \textrm{K}_{1} e^{-x} + \textrm{K}_{2} e^{4x}\) avec \(\textrm{K}_{1}\) et \(\textrm{K}_{2} \in \textrm{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((E)~~y" - 3y' - 4y = 8\)
Comme \(\textrm{B} = -4 \neq 0\), cherchons \(y_{p}\) sous la forme : \(y_{p} = k\) avec \(k \in \textrm{R}\)
d'où \(y_{p}' = y_{p}" = 0\) et \(-4k = 8\)
\(\rightarrow y_{p} = - 2\)
Solution générale
La solution générale y de l'équation (E) sera donc : \(y = y_{H} + y_{p} = \textrm{K}_{1}\textrm{e}^{-x} +\textrm{K}_{2}\textrm{e}^{4x} - 2\) ; avec \(\textrm{K}_{1}\) et \(\textrm{K}_{2} \in \textrm{R}^{2}\)
Résoudre y" - 3y' = 8
Solution générale de l'EESM
\((\textcolor{red}{E_{0}}) \quad y" - 3y' = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 3r = r(r - 3) = 0 \qquad \Delta = 9\)
Racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 0}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 3}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1} + K_{2}~e^{3x}} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" - 3y' = 8\)
Comme \(B = 0\) et \(A = -3\) (\(\neq 0\)), cherchons \(y_{p}\) sous la forme \(y_{p} = k x \quad (k \in \mathbb{R})\)
d'où \(y_{p}' = k \qquad y_{p}" = 0\)
d'où \(-3k = 8 \Rightarrow k = - \frac{8}{3}\)
donc, \(y_{p} = - \left( \frac{8}{3} \right) x\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l} y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1} + K_{2}~e^{3x} - \frac{8}{3} x \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre y" = 8
Intégration directe
Une intégration directe conduit à la solution générale de (\(\color{red} E\)) : \(\begin{array}{r l} & y" = 8 \\ \Rightarrow & y' = 8x + K_{1} \\ \Rightarrow & y = 4x^{2} + K_{1}x + K_{2} \end{array}\)
Solution générale de l'EESM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" = 0\)
E.C. : \(r^{2} = 0 \qquad \Delta = 0\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = r_{2} = 0}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1}x + K_{2}} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" = 8\)
Comme \(A = B = 0\), cherchons \(y_{p}\) sous la forme : \(y_{p} = k x^{2} \qquad (k \in \mathbb{R})\)
d'où \(y_{p}' = 2kx \qquad y_{p}" = 2k\)
d'où \(y" = 2k = 8 \Rightarrow k = 4\)
donc, \(y_{p} = 4x^{2}\)
Solution générale
La solution générale y de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1}x + K_{2} + 4x^{2} \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation suivante
Résoudre \(y" - 3y' +2y = x^{3} - x\)
Solution générale de l'EESM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - 3y' + 2y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 3r + 2 = 0 \qquad \Delta = 1\)
racines : \(\color{blue}r_{1} = 1\) et \(\color{blue}r_{2} = 2\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1} e^{x} + K_{2} e^{2x}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" - 3y' + 2y = x^{3} - x\)
Comme \(B = 2 \neq 0\), cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l} & y_{p} = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \\ \textrm{d'où} & y_{p}' = 3ax^{2} + 2bx + c \\ \textrm{d'où} & y_{p}" = 6ax + 2b \end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) : \(y_{p}" - 3 y_{p}' + 2 y_{p} = 2 ax^{3} + (2b - 9a)x^{2} + (6a - 6b + 2c)x + (2b - 3c + 2d)\)
Par identification,
\(\begin{array}{l l} \begin{array}{c} 2a = 1 \\ \\ 2b - 9a = 0 \\ \\ 6a - 6b + 2c = -1 \\ \\ 2b - 3c + 2d = 0 \end{array} & \left\} \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} \\ b = \frac{9}{4} \\ c = \frac{19}{4} \\ d = \frac{39}{8} \end{array} \right. \end{array}\)
\(y_{p} = \frac{1}{2}~x^{3} + \frac{9}{4}~x^{2} + \frac{19}{4}~x + \frac{39}{8}\)
Solution générale
La solution générale de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l} y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1}~e^{x} + K_{2}~e^{2x} + \frac{1}{2}~x^{3} + \frac{9}{4}~x^{2} + \frac{19}{4}~x + \frac{39}{8} \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre : y" - 3y' = 2x + 1
Solution générale de l'EESM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - 3y' = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 3r = r(r-3) = 0 \qquad \Delta = 9\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 0}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 3}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1} + K_{2} e^{3x}} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" - 3y' = 2x + 1\)
Comme \(B = 0\) et \(A = -3 (\neq 0)\), cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l} & y_{p} = x (ax + b) = ax^{2} + bx \\ \textrm{d'où} & y_{p}' = 2ax + b \\ \textrm{d'où} & y_{p}" = 2a \end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" - 3y_{p}' = -6ax + 2a - 3b = 2x + 1\)
Par identification
\(\begin{array}{l l} \begin{array}{l} -6a = 2 \\ \\2a - 3b = 1 \end{array} & \left\} \begin{array}{l} a = -\frac{1}{3} \\ b = - \frac{5}{9} \end{array} \right. \end{array}\)
Ainsi, \(y_{p} = - \frac{x^{2}}{3} - \frac{5}{9} x\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'expression (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l} y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1} + K_{2} e^{3x} - \frac{x^{2}}{3} - \frac{5}{9} x \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation suivante
Résoudre \(y" = x^{2} + 2x - 3\)
Intégration directe
Une intégration directe conduit à la solution générale \(y\) de (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(\begin{array}{c l} & y" = x^{2} + 2x - 3 \\ \Rightarrow & y' = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3x + K_{1} \\ \Rightarrow & y = \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + K_{1}x + K_{2} \end{array}\)
et par suite \(y = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} + K_{1}x + K_{2}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'EESM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" = 0\)
E.C. : \(r^{2} = 0 \qquad \Delta = 0\)
racines : \(\color{blue} r_{1} = r_{2} = 0\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1}x + K_{2}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" = x^{2} + 2x - 3\)
Comme \(A = B = 0\), cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{r l} & y_{p} = x^{2} ( ax^{2} + bx + c) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} \\ \textrm{d'où} & y_{p}' = 4ax^{3} + 3 bx^{2} + 2 cx \\ \textrm{d'où} & y_{p}" = 12 ax^{2} + 6bx + 2c \end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\))
\(y_{p}" = 12 ax^{2} + 6bx + 2c = x^{2} + 2x - 3\)
Par identification,
\(\begin{array}{l l} \begin{array}{l} 12a = 1 \\ \\ 6b = 2 \\ \\ 2c = -3 \end{array} & \left\} \begin{array}{l} a = \frac{1}{12} \\ b = \frac{1}{3} \\ c = -\frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
ainsi, \(y_{p} = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1}x + K_{2} + \frac{1}{12}x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - y' - 2y = 3 e^{x}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - y' - 2y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - r - 2 = 0 \qquad \Delta = 9\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = -1}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = +2}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1} e^{-x} + K_{2} e^{2x}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" - y' - 2y = 3e^{x}\)
Puisque \(\alpha = 1\) n'est pas racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme \(y_{p} = ke^{x} \quad (k \in\mathbb{R})\)
d'où \(y_{}' = ke^{x}\) et \(y_{p}" = ke^{x}\)
Portons ces expressions dans \((\textcolor{red}{E}) : y_{p}" - y_{p}' - 2y_{p} = ke^{x} - ke^{x} - 2ke^{x} = -2ke{x} = 3e^{x}\)
Par identification : \(-2k = 3 \Rightarrow k = - \frac{3}{2}\)
Ainsi, \(y_{p} = - \frac{3}{2} e^{x}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l} y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1}e^{-x} + K_{2}e^{2x} - \frac{3}{2}e^{x} \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" + 2y' = 2 e^{-2x}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" + 2y' = 0\)
E.C. : \(r^{2} + 2r = r(r + 2) = 0 \qquad \Delta = 4\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 0}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = -2}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1} + K_{2} e^{-2x}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" + 2y' = 2e^{-2x}\)
Puisque \(\alpha = -2\) est une des racines de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme : \(y_{p} = kx e^{-2x} \qquad (k \in \mathbb{R})\)
d'où \(y_{p}' = ke^{-2x} - 2kx e^{-2x}\) et \(y_{p}" = - 4k e^{-2x} + 4kx e^{-2x}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\))
\(y_{p}" + 2y_{p}' = -4k e^{-2x} + 4kx e^{-2x} + 2k e^{-2x} - 4kx e^{-2x} = -2k e^{-2x} = 2 e^{-2x}\)
Par identification : \(-2k = 2 \Rightarrow k = -1\)
Ainsi, \(y_{p} = -x e^{-2x}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l} y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & K_{1} + K_{2} e^{-2x} - x e^{-2x} \end{array}\) \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - 2y' + y = e^{x}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - 2y + y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 2r + 1 = (r - 1)^{2} = 0 \qquad \Delta = 0\)
racines : \(\color{blue} r_{1} = r_{2} = 1\)
Solution : \(y_{H} = e^{x} (K_{1} x + K_{2} ) \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" - 2y' + y = e^{x}\)
Puisque \(\alpha = 1\) est une racine double de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme : \(y_{p} = kx^{2} e^{x} \qquad (k \in \mathbb{R})\)
d'où \(y_{p}' = 2kx e^{x} + kx^{2} e^{x}\) et \(y_{p}" = 2k e^{x} + 4kx e^{x} + kx^{2} e^{x}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\))
\(\begin{array}{r c l} y_{p}" - 2y_{p}' + y_{p} & = & 2ke^{x} +4kx e^{x} + kx^{2}e^{x} - 4kx e^{x} - 2kx^{2} e^{x} + kx^{2} e^{x} \\ & = & 2ke^{x} \\ & = & e^{x} \end{array}\)
Par identification : \(2k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{2}\)
Ainsi, \(y_{p} = \frac{1}{2} x^{2} e^{x}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l} y & = & y_{H} + y_{p} \\ & = & e^{x} \left( K_{1}x + K_{2} + \frac{1}{2}x^{2} \right) \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - 3y' + y = (x^{2} + x - 1) e^{x}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - 3y' + y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 3r + 1 = 0 \qquad \Delta = 5\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1}~e^{\frac{3 - \sqrt{5}}{2} x} + K_{2}~e^{\frac{3 + \sqrt{5}}{2} x}} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E})\quad y" - 3y' + y = (x^{2} + x - 1)~e^{x}\)
Comme \(\alpha = 1\) n'est pas racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l} & y_{p} = (ax^{2} + bx + c)~e^{x} \\ \textrm{d'où} & y_{p}' = [ax^{2} + (2a + b)x + b + c]~e^{x} \\ \textrm{d'où} & y_{p}" = [ax^{2} + (4a + b)x + 2a + 2b + c]~e^{x} \end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" - 3y_{p}' + y_{p} = [-ax^{2} - (2a + b)x + 2a - b - c]~e^{x} = (x^{2} + x - 1)~e^{x}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l} \begin{array}{l} -a = 1 \\ -(2a + b) = 1 \\ 2a - b - c = -1 \end{array} & \left\} \begin{array}{l} a = -1 \\ b = 1 \\ c = -2 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = (-x^{2} + x - 2)~e^{x}}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & K_{1}e^{\frac{3 - \sqrt{5}}{2} x} + K_{2}e^{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}x} + (-x^{2} + x - 2) e^{x}\end{array} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" + y' - 2y = x e^{-2x}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" + y' - 2y = 0\)
E.C. : \(r^{2} + r - 2 = 0 \qquad \Delta = 9\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 1}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = -2}\)
Solution : \(y_{H} = K_{1} e^{x} + K_{2} e^{-2x} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" + y' - 2y = x e^{-2x}\)
Puisque \(\alpha = -2\) est une des racines de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p} = x (ax + b) e^{-2x} = (ax^{2} + bx) e^{-2x} \\\textrm{d'où} & y_{p}' = [-2ax^{2} + (a - b) 2x + b] e^{-2x} \\\textrm{d'où} & y_{p}" = [4ax^{2} - 4(2a - b) x + 2a - 4b] e^{-2x} \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" + y_{p}' - 2y_{p} = (-6ax + 2a - 3b) e^{-2x} = x e^{-2x}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l}\begin{array}{l} -6a = 1 \\ \\ \\ 2a - 3b = 0\end{array} & \left\}\begin{array}{l} a = -\frac{1}{6} \\ \\ b = -\frac{1}{9}\end{array}\right.\end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = x \left( -\frac{1}{6}x - \frac{1}{9} \right) e^{-2x} = \left( -\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{9}\right) e^{-2x}}\)
Solution générale
La solution générale y de l'équation (\textcolor{red}{E}) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & K_{1} e^{x} + K_{2} e^{-2x} - \left( \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{9} \right) e^{-2x}\end{array} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" + 2y' + y = (x - 1) e^{-x}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" + 2y' + y = 0\)
E.C. : \(r^{2} + 2r + 1 = (r + 1)^{2} = 0 \qquad \Delta = 0\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = r_{2} = -1}\)
Solution : \(y_{H} = e^{-x} ( K_{1}x + K_{2}) \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" + 2y' + y = (x - 1)e^{-x}\)
Puisque \(\alpha = - 1\) est racine double de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l} & y_{p} = x^{2} (ax + b) e^{-x} = (ax^{3} + bx^{2}) e^{x} \\ \textrm{d'où} & y_{p}' = [-ax^{3} + (3a - b)x^{2} + 2bx] e^{-x} \\ \textrm{d'où} & y_{p}" = [ax^{3} + (-6a + b) x^{2} + (6a - 4b)x + 2b] e^{-x} \end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" + 2y_{p}' + y_{p} = (6 ax + 2b) e^{-x} = (x - 1)e^{-x}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l} \begin{array}{l} 6a = 1 \\ \\ 2b = -1 \end{array} & \left\} \begin{array}{l} a = \frac{1}{6} \\ b = -\frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = x^{2} \left( \frac{1}{6}x - \frac{1}{2} \right) e^{-x} = \left( \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} \right) e^{-x}}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & \left( K_{1}x + K_{2} + \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{2} \right) e^{-x}\end{array} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre y" - 2y' = sin(2x)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - 2y' = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 2r = r (r - 2) = 0 \qquad \Delta = 4\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 0}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 2}\)
Solution : \(y_{H} = K_{1} + K_{2} e^{2x} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de l'EASM
\((\textcolor{red}{E}) \quad y" - 2y' = \sin{(2x)}\)
Comme \(\pm j \beta = \pm j 2\) n'est pas racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p} = \Big( \lambda~\sin{(2x)} + µ~\cos{(2x)} \Big) \\\textrm{d'où} & y_{p}' = 2 \lambda~\cos{(2x)} - 2µ~\sin{(2x)} \\\textrm{d'où} & y_{p}" = -4 \lambda~\sin{(2x)} - 4µ~\cos{(2x)} \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" - 2y_{p}' = 4( - \lambda + µ)~\sin{(2x)} - 4 (µ + \lambda)~\cos{(2x)} = \sin{(2x)}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l}4 ( -\lambda + µ) = 1\\\lambda + µ = 0\end{array}\left\} \lambda = -µ = -\frac{1}{8}\right.\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = \frac{1}{8}~\Big( -\sin{(2x)} + \cos{(2x)} \Big)}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & K_{1} + K_{2} e^{2x} + \frac{1}{8} \Big( -\sin{(2x)} + \cos{(2x)}\Big)\end{array} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre y" + 9y = cos(3x)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}})\quad y" + 9y = 0\)
E.C. : \(r^{2} + 9 = 0 \qquad \Delta = -36\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = -j3}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = +j3}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1}~\cos{(3x)} + K_{2}~\sin{(3x)}} \qquad K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'EASM
\((\textcolor{red}{E})\quad y" + 9y = \cos{(3x)}\)
Comme \(\pm j\beta = \pm j3\) est racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{r l}& y_{p} = x \Big( \lambda~\sin{(3x)} + µ~\cos{(3x)} \Big)\\\textrm{d'où} & y_{p}' = \lambda~\sin{(3x)} + µ~\cos{(x)} + x \Big( 3 \lambda~\cos{(3x)} - 3µ~\sin{(3x)}\Big)\\\textrm{d'où} & y_{p}" = 6 \lambda~\cos{(3x)} - 6µ~\sin{(x)} -9 x \Big( \lambda~\sin{(3x)} + µ~\cos{(3x)}\Big) \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) : \(y_{p}" + y_{p}' = 6\lambda~\cos{(3x)} - 6µ~\sin{(3x)} = \cos{(3x)}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l}\begin{array}{l}6\lambda = 1 \\ \\ 6µ = 0\end{array} & \left\}\begin{array}{l}\lambda = \frac{1}{6} \\ \\µ = 0\end{array}\right.\end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = \frac{x}{6}~\sin{(3x)}}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & K_{1}~\cos{(3x)} + K_{2}~\sin{(3x)} + \frac{x}{6}~\sin{(3x)}\end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - 3y' + 2y = e^{x} \sin{(2x)}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - 3y' + 2y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 3r + 2 = 0 \qquad \Delta = 1\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 1}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 2}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1} e^{x} + K_{2} e^{2x}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'EASM
\((\textcolor{red}{E})\quad y" - 9y = \cos{(3x)}\)
Comme \(\alpha \pm j \beta = 1 \pm j2\) n'est pas racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p} = e^{x} \Big( \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)} \Big) \\\textrm{d'où} & y_{p}' = e^{x} \Big( \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)} - 2 \lambda \sin{(2x)} + 2µ \cos{(2x)}\Big) \\\textrm{d'où} & y_{p}" = e^{x} \Big( -3\lambda \cos{(2x)} - 3µ \sin{(2x)} - 4 \lambda \sin{(2x)} + 4µ \cos{(2x)}\Big) \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" - 3y_{p}' + 2y_{p} = e^{x} \Big[ ( 2 \lambda - 4µ) \sin{(2x)} - (2µ + 4\lambda) \cos{(2x)} \Big] = e^{x} \sin{(2x)}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l}\begin{array}{l}2\lambda - 4µ = 1 \\ \\ 2µ + 4\lambda = 0\end{array}&\left\}\begin{array}{l}\lambda = \frac{1}{10}\\µ = -\frac{1}{5}\end{array}\right.\end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = \frac{1}{10} e^{x} \Big( \cos{(2x)} - 2 \sin{(2x)} \Big)}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & K_{1} e^{x} + K_{2} e^{2x} + \frac{e^{x}}{10}~\Big( \cos{(2x)} - 2 \sin{(2x)}\Big)\end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - 2y' + 5y = e^{x}~\cos{(2x)}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}})\quad y" - 2y' + 5y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 2r + 5 = 0 \qquad \Delta = -16\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 1 - 2j}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 1 + 2j}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = e^{x} \Big( K_{1}~\cos{(2x)} + K_{2}~\sin{(2x)}\Big)}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'EASM
\((\textcolor{red}{E})\quad y" - 2y' + 5y = e^{x}~\cos{(2x)}\)
Comme \(\alpha \pm j\beta = 1 \pm j2\) est racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p} = x~e^{x} \Big( \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)}\Big) \\\textrm{d'où} & y_{p}' = e^{x} \bigg[ \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)} + x \Big( ( \lambda + 2µ ) \cos{(2x)} + (-2\lambda + µ) \sin{(2x)} \Big) \bigg] \\\textrm{d'où} & y_{p}" = e^{x} \bigg[ 2 \Big( \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)}\Big) + 2 \Big( -2 \lambda \sin{(2x)} + 2µ \cos{(2x)}\Big) + x \Big( -4 \lambda \sin{(2x)} + 4µ \cos{(2x)} - 3 \lambda \cos{(2x)} - 3 µ \sin{(2x)}\Big) \bigg] \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" - 2y_{p}' + 5y_{p} = 4 e^{x} \Big[ - \lambda~\sin{(2x)} + µ \cos{(2x)}\Big] = e^{x}~\cos{(2x)}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l}\begin{array}{l}-4 \lambda = 0 \\ \\ 4µ = 1\end{array} & \left\} \begin{array}{l}\lambda = 0\\ µ = \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = \frac{1}{4} x e^{x} \sin{(2x)}}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & e^{x} \left( K_{1} \cos{(2x)} + K_{2} \sin{(2x)} + \frac{1}{4} x \sin{(2x)}\right)\end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - 2y' + y = xe^{x}~\sin{(x)} - e^{x}~cos{(x)}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}})\quad y" - 2y' + y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 2r + 1 = 0 \qquad \Delta = 0\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = r_{2} = 1}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = e^{x} \Big( K_{1}~x + K_{2}\Big)}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{red}{E})\quad y" - 2y' + y = xe^{x}~\sin{(x)} - e^{x} \cos{(x)}\)
Comme \(\alpha \pm j\beta = 1 \pm j\) est racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p} = e^{x} \Big[ (ax + b) \cos{(x)} + (cx + d)\sin{(x)}\Big]* \\\textrm{d'où} & y_{p}' = e^{x} \bigg[ \Big( x( a + c ) + a + b +d \Big)~\cos{(x)} + \Big( x ( c - a) + d - b + c\Big) \sin{(x)} \bigg] \\\textrm{d'où} & y_{p}" = e^{x} \bigg[ 2 \Big(cx + a + d + c\Big) \cos{(x)} - 2 \Big( ax + a + b -c \Big) \sin{(x)} \bigg] \\\end{array}\)
* avec des polynômes de degré 1.
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(y_{p}" - 2y_{p}' + y_{p} = e^{x} \Big[ \big( -ax - b +2c\big) \cos{(x)} - (cx + d + 2a)~\sin{(x)} \Big] = xe^{x}~\sin{(x)} - e^{x}~\cos{(x)}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l}\begin{array}{l}-a = 0 \\ -b + 2c = -1 \\ -c = 1 \\ - (d+2a) = 0\end{array} & \left\} \begin{array}{l}a = 0\\ b = -1 \\ c = -1 \\ d = 0 \end{array} \right.\end{array}\)
d'où \(\textcolor{red}{y_{p} = -e^{x} \Big( \cos{(x)} + x~\sin{(x)}\Big)}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & e^{x} \left( K_{1}x + K_{2} - \cos{(x)} - x \sin{(x)} \right)\end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - 2y' + 2y = x~e^{x} \cos{(x)} - e^{x} \sin{(x)}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}})\quad y" - 2y' + 2y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 2r + 2 = 0 \qquad \Delta = -4\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 1 - j}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 1 + j}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = e^{x} \Big( K_{1}~\cos{(x)} + K_{2}~\sin{(x)}\Big)}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} in \mathbb{R}^{2}\)
Solution générale de l'EASM
\((\textcolor{red}{E})\quad y" - 2y' + 2y = x~e^{x}\cos{(x)} - e^{x}\sin{(x)}\)
Comme \(\alpha \pm j\beta = 1 \pm j\) est racine de E.C., cherchons \(y_{p}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p} = x~e^{x} \bigg[ \Big( ax + b\Big) \cos{(x)} + \Big( cx + d\Big) \sin{(x)} \bigg] \\\textrm{d'où} & y_{p}' = e^{x} \bigg[ \Big( x^{2} (a + c) + x ( 2a + b +d) + b \Big) \cos{(x)}+ \Big( x^{2} ( c -a ) + x (2c + d -b) + d \Big) \sin{(x)} \bigg] \\\textrm{d'où} & y_{p}" = e^{x} \bigg[ 2 \Big( cx^{2} + x (2a + 2c + d) x + b + d +a\Big) \cos{(x)} + 2 \Big( - ax^{2} + x(2c - 2a - b) + d - b + c\Big) \sin{(x)} \bigg] \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E}\)) :
\(\begin{array}{r c l} y_{p}" - 2y_{p}' + y_{p} & = & e^{x} \bigg[ \Big( 4 cx + 2(a +d)\Big) \cos{(x)} + \Big(-4 ax + 2 ( -b + c)\Big) \sin{(x)} \bigg] \\ & = & xe^{x}~\cos{(x)} - e^{x}~\sin{(x)} \end{array}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l}\begin{array}{l}4c = 1 \\ \\ 2(a + d) = 0 \\ \\ 4a = 0 \\ \\ 2(-b + c) = -1 \end{array} & \left\} \begin{array}{l}a = 0\\ \\b = \frac{3}{4} \\ \\ c = \frac{1}{4} \\ \\d = 0 \end{array} \right.\end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p} = e^{x} \left( \frac{3}{4} x \cos{(x)} + \frac{x^{2}}{4} \sin{(x)} \right) }\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p} \\& = & e^{x} \left( K_{1} \cos{(x)} + K_{2} \sin{(x)} + \frac{3}{4} x \cos{(x)} + \frac{1}{4} x^{2} \sin{(x)} \right)\end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - 4y' + 4y = 4x^{2} - 4x + 2 + e^{2x}\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}}) \quad y" - 4y' + 4y = 0\)
E.C. : \(r^{2} - 4r + 4 = (r - 2)^{2} = 0 \qquad \Delta = 0\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = r_{2} = 2}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = e^{2x} \Big( K_{1}x + K_{2} \Big)}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Solution particulière de (\(E_{1}\))
\((\textcolor{red}{E_{1}}) \quad y" - 4y' + 4y = 4x^{2} - 4x + 2\)
Comme \(B = 4 \neq 0\) , cherchons \(y_{p1}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p1} = ax^{2} + bx + c \\\textrm{d'où} & y_{p1}' = 2ax + b \\\textrm{d'où} & y_{p1}" = 2a\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E_{1}}\)) :
\(\begin{array}{r c l} y_{p1}" - 4y_{p1}' + 4y_{p1} & = & 4ax^{2} + (4b - 8a)x + 2a - 4b + 4c \\ & = & 4x^{2} - 4x + 2 \end{array}\)
Par identification :
\(\left.\begin{array}{l}4a = 4 \\ 4b - 8a = -4 \\ 2a - 4b + 4c = 2\end{array}\right\} a = b = c = 1\)
\(\textcolor{red}{y_{p1} = x^{2} + x + 1}\)
Solution particulière de (\(E_{2}\))
\((\textcolor{red}{E_{2}}) \quad y" - 4y' + 4y = e^{2x}\)
Comme \(\alpha = 2\) est racine double de E.C., cherchons \(y_{p2}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p2} = kx^{2} e^{2x} \\\textrm{d'où} & y_{p2}' = 2kx e^{2x} + 2kx^{2} e^{2x} \\\textrm{d'où} & y_{p2}" = 2k e^{2x} + 8 kx e^{2x} + 4kx^{2} e^{2x}\end{array}\)
Portons ces expressions dans \((\textcolor{red}{E_{2}})\) :
\(y_{p2}" - 4y_{p2}' + 4 y_{p2} = 2k e^{2x} = e^{2x}\)
Par identification : \(2k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{2}\)
\(\textcolor{red}{y_{p2} = \frac{1}{2}~x^{2}~e^{2x}}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p1} + y_{p2} \\& = & e^{2x} \Big( K_{1}x + K_{2}\Big) + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{2}x^{2} e^{2x} \\\end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre y" - y' = 2 shx
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}})\quad y" - y' = 0\)
E.C. : \(r^{2} - r = r(r - 1) = 0 \qquad \Delta = 1\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = 0}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 1}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1} + K_{2}~e^{x}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} in \mathbb{R}^{2}\)
Le second membre peut s'exprimer en fonction d'exponentielle car \(2~\textrm{shx} = e^{x} - e^{-x}\) d'où : \((\textcolor{red}{E})\quad y" - y' = e^{x} - e^{-x}\)
Solution particulière de (\(\textcolor{red}{E_{1}}\))
\((\textcolor{red}{E_{1}})\quad y" - y' = e^{x}\)
Comme \(\alpha = 1\) est une racine de E.C., cherchons \(y_{p1}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p1} = kx e^{x} \\\textrm{d'où} & y_{p1}' = ke^{x} + kx e^{x} \\\textrm{d'où} & y_{p1}" = 2ke^{x} + kx e^{x} \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E_{1}}\)) : \(y_{p1}" - y_{p1}' = ke^{x} = e^{x}\)
Par identification : \(k = 1\)
\(\textcolor{red}{y_{p1} = x e^{x}}\)
Solution particulière de (\(\textcolor{red}{E_{2}}\))
\((\textcolor{red}{E_{1}})\quad y" - y' = -e^{-x}\)
Comme \(\alpha = - 1\) n'est pas une racine de E.C., cherchons \(y_{p2}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p2} = kx e^{-x} \\\textrm{d'où} & y_{p2}' = -ke^{-x} \\\textrm{d'où} & y_{p2}" = ke^{-x} \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E_{2}}\)) : \(y_{p2}" - y_{p2}' = 2ke^{-x} = -e^{-x}\)
Par identification : \(2k = -1 \Rightarrow k = - \frac{1}{2}\)
\(\textcolor{red}{y_{p2} = -\frac{1}{2} e^{-x}}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p1} + y_{p2} \\& = & K_{1} + K_{2} e^{x} + xe^{x} - \frac{1}{2}e^{-x}\end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Résoudre l'équation ci-dessous
Résoudre \(y" - y' = \sin^{2}x\)
Solution générale de l'ESSM
\((\textcolor{green}{E_{0}})\quad y" + 4y = 0\)
E.C. : \(r^{2} + 4 = 0 \qquad \Delta = -16\)
racines : \(\textcolor{blue}{r_{1} = -2j}\) et \(\textcolor{blue}{r_{2} = 2j}\)
Solution : \(\textcolor{red}{y_{H} = K_{1}~\cos{(2x)} + K_{2}~\sin{(2x)}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
Le second membre peut s'exprimer en fonction de \(\cos{(2x)}\) car \(\sin^{2}x = \frac{\Big(1 - \cos{(2x)}\Big)}{2}\) d'où : \((\textcolor{red}{E}) \quad y" + 4y = \frac{1}{2} - \frac{\cos{(2x)}}{2}\)
Solution particulière de (\(\textcolor{red}{E_{1}}\))
\((\textcolor{red}{E_{1}})\quad y" + 4y = \frac{1}{2}\)
Comme \(B = 4 \neq 0\) , cherchons \(y_{p1}\) sous la forme : \(\begin{array}{l l} & y_{p1} = k \\ \textrm{d'où} & y_{p1}' = y_{p1}" = 0 \end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E_{1}}\)) : \(y_{p1}" + 4 y_{p1} = 4k = \frac{1}{2}\)
donc, \(k= \frac{1}{8}\) et \(y_{p1} = \frac{1}{8}\)
Solution particulière de (\(\textcolor{red}{E_{2}}\))
Comme \(\pm j\beta = \pm j2\) est racine de E.C., cherchons \(y_{p2}\) sous la forme :
\(\begin{array}{l l}& y_{p2} = x \Big( \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)}\Big) \\\textrm{d'où} & yp_{2}' = \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)} + x \Big( -2 \lambda \sin{(2x)} + 2µ \cos{(2x)}\Big) \\\textrm{d'où} & y_{p2}" = 4 \Big( \lambda \sin{(2x)} + µ \cos{(2x)} \Big) - 4x^{2} \Big( \lambda \cos{(2x)} + µ \sin{(2x)} \Big) \\\end{array}\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{red}{E_{2}}\)) :
\(y_{p2}" + 4y_{p2}' = 4 \Big( - \lambda \sin{(2x)} + µ \cos{(2x)}\Big) = - \frac{\cos{(2x)}}{2}\)
Par identification :
\(\begin{array}{l l}\begin{array}{l}-4 \lambda = 0\\4µ = -\frac{1}{2}\end{array}& \left\}\begin{array}{l}\lambda = 0\\µ = -\frac{1}{8}\end{array}\right.\end{array}\)
\(\textcolor{red}{y_{p2} = - \frac{x}{8} \sin{(2x)}}\)
Solution générale
La solution générale \(y\) de l'équation (\(\textcolor{red}{E}\)) sera :
\(\begin{array}{r c l}y & = & y_{H} + y_{p1} + y_{p2} \\& = & K_{1} \cos{(2x)} + K_{2} \sin{(2x)} + \frac{1}{8} - \frac{x}{8}~\sin{(2x)} \end{array}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)