Comatrice. Matrice adjointe
Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice carrée d'ordre \(n\) et \(\Delta_{ij}\) le cofacteur de l'élément \(a_{ij}\).
Définition : Comatrice / Matrice Adjointe
On appelle comatrice (ou matrice adjointe) de A, la matrice carrée d'ordre \(n\), notée \(\textrm{com}(A)\) (ou \(\textrm{adj}(A)\) ) définie par :
\(\textrm{com}(A) = \begin{pmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{12} & \ldots & \ldots & \Delta_{1n} \\ \Delta_{21} & \Delta_{22} & \ldots & \ldots & \Delta_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \Delta_{n1} & \Delta_{n2} & \ldots & \ldots & \Delta_{nn }\end{pmatrix}\),
où \(\Delta_{ij}\) est le cofacteur de l'élément \(a_{ij}\) de \(A\) défini à partir du mineur \(|M_{ij}|\) par la relation : \(\Delta_{ij} = (-1)^{i + j} |M_{ij}|\)
Définition : Matrice Inverse
On appelle matrice inverse de la matrice carrée \(A\) d'ordre \(n\), la matrice, si elle existe, notée \(A^{-1}\) telle que : \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\), obtenue par la relation suivante :
\(\color{red} A^{-1} = \frac{~^{t} \textrm{com}(A)}{|A|} \color{black} \quad (|A| \neq 0)\),
où \(^{t} \textrm{com}(A)\) est la transposée de la comatrice de \(A\).
Propriété :
Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées inversibles et du même ordre, alors : \(\color{red} (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\).
Exemple :
Calcul de la matrice inverse de \(A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\)
\(A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} ;~~\textcolor{blue}{|A|} = \left| \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right| = \color{blue} -10 \color{black};~~\textrm{com} (A) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\)
\(^{t} \textrm{com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = - \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\)
Calcul de la matrice inverse de \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & -1 \end{pmatrix}\)
\(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & -1 \end{pmatrix} ;~~ \textcolor{blue}{|B|} = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & -1 \end{matrix} \right| = \color{blue}+6\)
\(\textrm{com}(B) = \begin{pmatrix} + \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -4 & - 1 \end{matrix} \right| & - \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right| & + \left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| \\ \\ - \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{matrix} \right| & + \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ -1 & - 1\end{matrix} \right| & - \left| \begin{matrix} 1& 2 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right|\\ \\ + \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| & - \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 2\end{matrix} \right| & + \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right|\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \\ -10 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\)
\(^{t} \textrm{com}(B) = \begin{pmatrix} 7 & -10 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\);
d'où \(\color{red}B^{-1} = \frac{1}{6}~\begin{pmatrix} 7 & -10 & 1 \\ -2 & 2 &-2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
Remarque : Cas particulier : matrices diagonales d'ordre 2 et 3
Si \(n = 2\)
\(C = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} ; |C| = \alpha \beta ;~~\textrm{com}(C) = \begin{pmatrix} \beta & 0 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} =~^{t} \textrm{com} (C)\),
d'où \(\color{red}C^{-1} \color{black}= \frac{1}{\alpha \beta} \begin{pmatrix} \beta & 0 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} = \color{red} \begin{pmatrix} \alpha^{-1} & 0 \\ 0 & \beta^{-1} \end{pmatrix}\)
Si \(n = 3\)
\(D = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} ;~~ |D| = \alpha \beta \gamma ; ~~ \textrm{com}(D) = \begin{pmatrix} \beta \gamma & 0 & 0 \\ 0 & \alpha \gamma & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \beta \end{pmatrix} =~^{t} \textrm{com}(D)\),
d'où \(\color{red} D^{-1} \color{black}= \frac{1}{\alpha \beta \gamma} \begin{pmatrix} \beta \gamma & 0 & 0 \\ 0 & \alpha \gamma & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \beta \end{pmatrix} = \color{red} \begin{pmatrix} \alpha^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & \beta^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & \gamma^{-1} \end{pmatrix}\)
Dans une matrice diagonale, la matrice inverse est obtenue en inversant les éléments diagonaux.