Physique
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Systèmes d'équations linéaires
Définition

On appelle système de équations linéaires à inconnues le système :

Ecriture matricielle

avec et deux matrices colonnes et appelée matrice de transformation à lignes et colonnes.

Les coefficients ( ou ) avec et .

Les avec constituent le second membre de .

Le système est dit homogène si et non homogène si .

Les lignes sont numérotées par ( ).

Définition

On appelle opérations élémentaires sur les lignes d'un système d'équations linéaires, les opérations suivantes :

  • Multiplication par un scalaire

  • Permutation de deux lignes :

  • Addition à une ligne, d'un multiple d'une autre ligne :

Propriété : Toute opération élémentaire sur les lignes d'un système d'équations linéaires transforme ce dernier en un système équivalent ayant le même ensemble de solutions.

Définition

On appelle système de Cramer un système de équations à inconnues avec (déterminant de la matrice carrée de transformation).

Ecriture matricielle

avec et les matrices colonnes et la matrice carrée de transformation

Méthode : Méthodes de résolution

Les systèmes linéaires rencontrés en Sciences Physiques étant pour la plupart de Cramer, nous présentons trois méthodes de résolution pour ces systèmes.

Système non homogène :

1ère méthode : Règle de Cramer

Un système de Cramer admet une solution unique donnée par :

, pour et .

étant le déterminant de la matrice obtenu en remplaçant la ième colonne de par la colonne des constantes .

Démonstration

Soit le système d'équations à 3 inconnues :

Déterminant de ce système :

Référence 1

Référence 2

d'où

Exemple

Résolution du système :

La matrice du système est : ,

d'où (Règle de Sarrus)

Le système est de Cramer et admet une solution unique :

2ème méthode : Inversion matricielle

Pour , la matrice carrée admet une matrice inverse .

Le système sous la forme matricielle peut être pré-multiplié par afin d'obtenir la solution :

La détermination de passe par le calcul de

Exemple

Résolution du système :

La matrice du système étant ,

calculons par la formule , sachant que et

3ème méthode : Pivot de Gauss

Etant donné le système d'équations linéaires :

La méthode du pivot de Gauss, consiste à l'aide des opérations élémentaires sur les lignes ( ), à se ramener à un système triangulaire (ou système échelonné) de la forme :

La dernière équation ( ) donne la valeur de , puis dans ( ) après report de dans cette ligne et ainsi de suite jusqu'à la valeur dans ( ).

Exemple

Résolution du système :

Elimination de dans ( ) et ( )

Elimination de dans ( )

d'où de

puis de

et enfin de

Les solutions de sont donc : ; ; .

Système homogène :

Dans un système homogène, les seconds membres des équations sont nuls et le système s'écrit :

Si : le système admet la solution : .

Exemple ( Système linéaire homogène ; Régle de Cramer )

Résolution du système homogène suivant :

Le système a pour déterminant :

La règle de Cramer conduit à :

dans un système homogène : , la solution est unique.

Si : le système admet des solutions autres que la solution triviale précédente.

Exemple ( Système linéaire homogène ; Pivot de Gauss )

Résolution du système homogène suivant :

Le système a pour déterminant :

Le déterminant étant nul, utilisons le pivot de Gauss pour trouver la solution :

Eliminons dans et :

La solution est immédiate :

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