Circuit à courant constant de Boucherot
Partie
Question
On réalise le montage ci-dessous, et on applique entre \(A\) et \(B\) une tension sinusoïdale : \(u(t) = U_m \cos\omega t\)
Quelle relation doit-il y avoir entre les éléments du circuits pour que l'amplitude de l'intensité \(i(t)\) soit indépendante de la valeur de \(R\) ?
Aide simple
Exprimer \(i\) en fonction du courant principal.
Aide détaillée
Calculer l'impédance complexe du dipôle \(AB\); en déduire l'intensité du courant principal; considérer ensuite l'ensemble \([L, R]\) comme un diviseur de courant pour calculer \(i\).
Aide méthodologique
Association mixte d'impédances complexes
Solution simple
\(LC\omega^2 = 1\)
Solution détaillée
Le dipôle \(AB\) se compose d'un condensateur de capacité \(C\) en série avec deux dipôles en parallèle :
la bobine d'inductance \(L\) et la résistance variable.
L'admittance complexe du dipôle équivalent à une association de dipôles en parallèle est égale à la somme des admittances complexes
\(\displaystyle{\underline Y_{RL}=\underline Y_R+\underline Y_L=\frac{1}{R}+\frac{1}{jL\omega}=\frac{R+jL\omega}{R(jL\omega)}}\)
\(\displaystyle{\underline Z_{RL}=\frac{1}{\underline Y_{RL}}=\frac{jRL\omega}{R+jRL\omega}}\)
L'impédance complexe de dipôles associés en série est égale à la somme de leurs impédances complexes :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Z_{AB} & = & \underline Z_C+\underline Z_{RL}=\frac{1}{jC\omega}+\frac{jRL\omega}{R+jL\omega}\\ & = & \frac{R(1-LC\omega^2)+jL\omega}{jC\omega(R+jL\omega)}\end{array}}\) ,d'où l'intensité du courant principal :
\(\displaystyle{\underline i_{AB}=\frac{\underline u(t)}{Z_{AB}}=\underline u(t)\frac{jC\omega(R+jL\omega)}{R(1-LC\omega^2)+jL\omega}}\)
L'ensemble \([L ; R]\) se comporte comme un diviseur de courant, dans lequel l'intensité dans chaque branche est proportionnelle à son admittance :
\(\displaystyle{\underline i=\underline i_{AB}\frac{\underline Y_R}{\underline Y_R+\underline Y_L}=\underline i_{AB}\frac{\underline Z_R}{\underline Z_R+\underline Z_L}=\underline i_{AB}\frac{jL\omega}{R+jL\omega}}\)
En remplaçant \(i_{AB}\) par son expression, on obtient :
\(\displaystyle{\underline i=\underline u(t)\frac{-LC\omega^2}{R(1-LC\omega^2)+jL\omega}}\) dont la valeur est indépendante de \(R\) si \(LC\omega^2 = 1\) ;
alors : \(\displaystyle{\underline i=-\underline u(t)\frac{1}{jL\omega}=\underline u(t)jC\omega}\) ; le courant et la tension sont en quadrature.