Etude des oscillations
Le ressort est caractérisé par sa raideur \(k\) et par sa longueur à vide (sans déformation) \(l_0\) ; son extrémité \(O_1\) est fixe, la masse \(m\) est accrochée à l'extrémité \(O\).
La masse du ressort est négligeable et son élasticité parfaite (\(k = \mathrm{cste}\))
La masse \(m\) est assimilée à un point matériel ; on suppose qu'elle ne peut se déplacer que suivant une direction horizontale définie par l'axe du ressort et sans frottement.
Les positions sont repérées sur l'axe \((O, \vec e_x)\) comme indiqué sur la figure ; le référentiel est galiléen.
A l'équilibre
La longueur du ressort à l'équilibre est \(l_e = \overline{O_1O}\), repérée sur l'axe \((O, \vec e_x)\).
La masse \(m\) est immobile en \(O\), position d'équilibre. Remarquons que \(l_e = l_0\).
La force de pesanteur \(\vec P\) et la réaction normale \(\vec R_n\) s'équilibrent : \(\vec P + \vec R = \vec 0\).
Mise en mouvement de l'oscillateur
On écarte la masse \(m\) de \(O\) en \(A\), \(\overline{OA} = x_0\), et on l'abandonne à elle-même :
soit sans vitesse initiale : \(x'(t = 0) = x'_0 = 0\),
soit avec une vitesse initiale, positive ou négative : \(x' (t = 0) = x'_0\).
En résumé, les conditions initiales sont notées \((x_0, x'_0)\)
En mouvement
La masse \(m\) effectue un mouvement d'oscillations horizontales de part et d'autre de la position d'équilibre, entre \(A\) et \(A'\) si \(x'_0 = 0\), entre \(A_1\) et \(A'_1\) si \(x'_0 > 0\), entre \(A_2\) et \(A'_2\) si \(x'_0 <0\).
A un instant \(t\), la masse \(m\) est en \(M\) ; on repère sa position par rapport à \(O\) en posant \(\overline{OM}(t) = x(t)\). La longueur instantanée du ressort est \(l(t) = \overline{O_1M}(t)\) . L'allongement instantané du ressort est \(\overline{ \Delta l}(t) = l(t) - l_0 = \overline{O_1M}(t) - \overline{O_1O} = \overline{OM}(t) = x(t)\).
Dans le cas de ce système, l'abscisse \(x(t)\) représente également l'élongation du ressort.
Le ressort exerce sur \(m\) la force de rappel, ou force élastique, \(\vec F_r\) proportionnelle et de sens opposé à l'allongement (Loi de Hooke).
Soit : \(\vec F_r = - k~\overline{ \Delta l}(t)~\vec e_x\) ou ici \(\vec F_r = -kx (t) \vec e_x\) ou encore \(\mathrm{||}\vec F_r\mathrm{||} = k |l(t) - l_0|\).
\(M\) étant à droite de \(O\), \(x(t)\) est positif, le ressort est étiré et \(\vec F_r < \vec 0\).
\(M\) étant à gauche de \(O\), \(x(t)\) est négatif, le ressort est comprimé et \(\vec F_r > \vec 0\).
Le coefficient de proportionnalité \(k\) est la raideur du ressort.
Détermination de la réponse x(t) de l'oscillateur
Appliquons le « Principe fondamental de la dynamique » à la masse \(m\) : \(\vec P + \vec R_n + \vec F_r = m \vec \gamma\),\( \vec \gamma\) désignant le vecteur accélération de \(m\).
Exprimons les forces et l'accélération en fonction des vecteurs directeurs \(\vec e_x\) et \(\vec e_y\) des directions horizontale et verticale habituelles :
\(\vec P = - m g~\vec e_y\) (avec \(g > 0\) accélération de la pesanteur, \(\vec P\) orienté vers le bas).
\(\vec R_n = R_n ~\vec e_y\) (le mouvement se fait sans frottement : la réaction du support est normale au déplacement et orientée vers le haut).
\(\vec F_r = - k~x(t)~\vec e_x\)
\(\vec\gamma(t) = \gamma_x (t)~\vec e_x = x"(t)~\vec e_x\) (le mouvement ayant lieu suivant la direction \(Ox\), l'accélération est dirigée suivant \(Ox\)).
En projetant l'équation vectorielle sur les axes \(\vec e_x\) et \(\vec e_y\), on obtient les deux équations scalaires suivantes :
\((\vec P + \vec R_n + \vec F_r) . \vec e_y = (m ~\vec \gamma) . \vec e_y \Rightarrow - m~g + R_n = 0\)
\((\vec P + \vec R_n + \vec F_r) . \vec e_x = (m ~\vec \gamma). \vec e_x \Rightarrow - k~x(t) = m~x"(t)\) ou
\(x"(t) + \frac{k}{m} x(t) = 0\)
On pose \(\frac{k}{m} = \omega^2_0\), l'équation précédente est du type oscillateur harmonique de pulsation propre
\(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\).
La réponse de l'oscillateur s'écrit :
\(x(t) = x_m~\cos (\omega_0 t + \varphi)\) .
Calcul des constantes \(x_m\) et \(\varphi\) en fonction des conditions initiales \(x(t = 0)=x_0\) et \(x'(t = 0) = x'_0\)
Exprimons la condition sur la position : \(x(t = 0) = x_0 = x_m~\cos \varphi\).
Exprimons la condition sur la vitesse, sachant que \(x'(t) = -x_m~\omega_0~ \sin (\omega_0t + \varphi)\), il vient \(x'(t = 0) = x'_0 = - x_m \omega_0~ \sin \varphi\).
On en déduit les deux équations \(~\cos \varphi = \frac{x_0}{x_m}~\) et \(~\sin \varphi = -\frac{x'_0}{x_m ~\omega_0}\).
Finalement sachant que \(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1\) et \(\tan \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}\), il vient :
\(x_m = \sqrt{x_0^2 + \frac{{x'}_0^{2}}{\omega_0^2}}~~\) et \(~~\tan \varphi = \frac{- x'_0}{\omega_0x_0}\)
(\(\varphi\) étant déterminé à \(\pi\) près à partir de la tangente, il faut tenir compte du signe de \(\cos\varphi = \frac{x_0}{x_m}\), \(x_0\) et \(x'_0\) pouvant être positifs, négatifs ou nuls pour donner la valeur exacte de \(\varphi\)).
La réponse \(x(t)\) est déterminée.