Physique
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Oscillateurs harmoniques
Le test comporte 5 questions :
Equation différentielle et solution
Réponse d'un oscillateur [masse-ressort] horizontal
Energie
Oscillations d'une masse liquide
Oscillations verticales d'une masse
La durée indicative du test est de 44 minutes.
Commencer
Equation différentielle et solution

Soit l'oscillateur caractérisé par la variable dynamique .

  1. Quelle est la forme générale de l'équation différentielle caractéristique de l'oscillateur harmonique ? (1 pt)

  2. Quelle est la solution générale de cette équation ? (1 pt)

Réponse d'un oscillateur [masse-ressort] horizontal

On considère un ressort horizontal de raideur , d'élasticité parfaite, de masse négligeable et dont la longueur à vide est . Une extrémité du ressort est fixe tandis que l'on accroche à l'extrémité libre une masse , supposée ponctuelle. Celle-ci se déplace horizontalement sans frottement. On écarte la masse de sa position d'équilibre d'une distance positive égale à et on lâche la masse avec une vitesse initiale négative (avec ).

L'équation différentielle qui régit le mouvement de la masse est :

représente la position à l'instant de la masse repérée par rapport à sa position d'équilibre.

La solution de cette équation est de la forme représente l'amplitude maximale des oscillations, , la pulsation propre et la phase à .

On donne : , , et .

  1. Calculer les valeurs de la pulsation propre et de la période propre de l'oscillateur.(2 pts)

  2. Calculer la valeur que l'on doit donner à la vitesse initiale pour que l'amplitude des oscillations soit égale à . (2 pts)

  3. Calculer à , la phase des oscillations. (2 pts)

  4. Tracer le graphe de . (4 pts)

Energie

On considère une bille de masse accrochée à l'extrémité d'un ressort vertical. La figure ci-dessous représente les variations respectives de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle au cours du temps de l'oscillateur.

  1. Tracer la courbe de l'énergie mécanique de l'oscillateur et déterminer la période des oscillations. (2 pts)

  2. Expliciter et . (2 pts)

Oscillations d'une masse liquide

Un tube en U de section faible et uniforme contient une masse d'un liquide de masse volumique . La pression atmosphérique s'exerce sur les deux surfaces libres du liquide et on crée entre ces deux surfaces libres une dénivellation (voir figure).

On rappelle que l'énergie potentielle s'écrit : .

Calculer la période des oscillations.

Oscillations verticales d'une masse

On considère un ressort vertical de longueur à vide , de masse négligeable et d'élasticité parfaite. Son extrémité supérieure est fixe. On suspend à son extrémité libre une bille de masse , assimilée à un point matériel. Le ressort s'allonge alors de la longueur cm par rapport à sa longueur à vide jusqu'à atteindre une position d'équilibre. On note la position d'équilibre de la masse , repérée sur l'axe vertical ascendant .

  1. Faire le bilan des forces appliquées à la masse à l'équilibre. (1 pt)

  2. Calculer la raideur du ressort. (1 pt)

    A l'instant on communique à la masse la vitesse (avec Elle remonte alors de 2 cm avant de redescendre.

  3. Faire le bilan des forces appliquées à la masse et écrire la relation fondamentale de la dynamique. (2 pts)

  4. Après projection sur l'axe , en déduire l'équation du mouvement. (2 pts)

  5. Donner la solution de l'équation du mouvement et déterminer l'amplitude maximale des oscillations en fonction de , la pulsation et la phase à l'origine. (3 pts)

  6. Calculer les valeurs de , de la pulsation, de la période propre et de la fréquence propre des oscillations. (2 pts)

  7. Déterminer à ( étant la période propre du mouvement) la position, la vitesse et l'accélération de la bille. (3 pts)

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Equation différentielle et solution
  1. (1 pt) La forme générale de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique est :

    représente la pulsation propre des oscillations.

  2. (1 pt) La solution générale de l'équation précédente est :

    représente l'amplitude maximale de la variable dynamique, la pulsation des oscillations et la phase à l'origine des temps.

0
1
2
Réponse d'un oscillateur [masse-ressort] horizontal
  1. (2 pts) La pulsation et la période des oscillations s'écrivent :

    et

    A.N :

  2. (2 pts) D'après les conditions initiales à , on a :

    On élève au carré, on ajoute les deux expressions et on obtient alors :

    D'où :

    A.N :

  3. (2 pts) Le calcul de la phase à l'origine s'effectue à partir du système d'équations obtenu à la question précédente :

    En divisant ces deux expressions, on obtient alors simplement :

    A.N :

  4. (4 pts) Pour tracer le graphe de , on écrit son expression numérique :

    Les grandeurs caractéristiques permettant de tracer cette équation sont :

    • l'amplitude ,

    • la période ,

    • la phase à l'origine qui permet de déterminer .

0
1
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4
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Energie

1. (2 pts) L'énergie mécanique est égale à la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique :

Sachant que l'énergie mécanique est constante, si on cherche à la tracer sur la figure qui est présentée, il suffit de localiser l'énergie cinétique maximale (à ce moment l'énergie potentielle est nulle) ou bien l'énergie potentielle maximale (à ce moment, l'énergie cinétique est nulle) et de tracer puisque :

ou

Pour déterminer la période des oscillations à partir du graphe des énergies, il ne faut pas oublier que l'énergie cinétique et l'énergie potentielle élastique varient comme le carré de la vitesse (pour l'énergie cinétique) ou bien le carré de la position (pour l'énergie potentielle élastique). Cela signifie que la période des énergies est 2 fois plus petite que la période des oscillations. Sur la figure, on peut mesurer la période des énergies (cinétique ou potentielle), soit 2 secondes, on en déduit que la période des oscillations vaut 4 secondes.

2. (2 pts) L'énergie cinétique s'écrit :

représente la masse de la bille et sa vitesse.

L'énergie potentielle s'écrit :

représente la raideur du ressort et la position de la bille.

0
1
2
3
4
Oscillations d'une masse liquide

Lorsque le liquide est hors équilibre, la section du tube étant uniforme, toutes les particules de liquide ont une vitesse . Le module de la vitesse, noté , s'écrit alors :

L'énergie cinétique, , du fluide est :

(1 pt)

On considère que l'on passe de l'équilibre à la situation à l'instant en élevant de dans le champ de pesanteur une colonne de fluide de hauteur et de section . L'énergie potentielle, , s'écrit :

(1 pt)

La conservation de l'énergie nous permet d'écrire alors :

(1 pt)

En dérivant par rapport au temps les deux membres de l'équation précédente nous obtenons :

(3 pts)

On reconnaît alors l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique. La pulsation propre de cet oscillateur est déterminée à partir de :

La période propre est donc :

(2 pts)

0
1
2
3
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8
Oscillations verticales d'une masse
  1. (1 pt) Les forces appliquées à la bille lorsque celle-ci est en équilibre sont :

    • la force élastique :

      est l'élongation du ressort,

    • le poids .

  2. (1 pt) Pour déterminer la valeur de la raideur du ressort, on écrit la relation fondamentale de la dynamique à l'équilibre : et après projection sur l'axe , on obtient la relation :

    A.N. :

  3. (2 pts) En régime dynamique, les forces appliquées à la bille sont :

    • la force élastique :

      représente l'allongement instantané du ressort en fonction de la position de la bille par rapport à la position d'équilibre,

    • le poids : .

      La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

      est l'accélération

  4. (2 pts) Après projection sur l'axe , on obtient la relation :

    Or, d'après la question 2, . Il s'ensuit :

    avec

  5. (3 pts) La solution de l'équation précédente est de la forme :

    représente l'amplitude des oscillations, la pulsation et la phase à l'origine.

    D'après les conditions initiales, on sait qu'à , on a :

    Or on a également :

    et

    D'où le résultat :

  6. (2 pts) D'après le résultat précédent, on sait que représente l'amplitude des oscillations. D'après les conditions initiales, on peut en déduire que .

    On sait également que : et

    A.N. :

  7. (3 pts) On reprend la solution de l'équation du mouvement : et on remplace t par pour connaître la position de la bille. Pour connaître la vitesse de la bille, il faut dériver cette relation une première fois et pour connaître l'accélération, on dérive une deuxième fois l'expression pour finalement trouver :

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1
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Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/38
Seuil critique :13
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :44 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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