Physique
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Système [masse, ressort] vertical

Enoncé global

On se propose d'étudier l'équilibre puis les oscillations libres d'un système masse - ressort.

La masse supposée ponctuelle est accrochée à l'extrémité inférieure d'un ressort vertical (raideur longueur à vide masse négligeable, élasticité parfaite) dont l'autre extrémité est fixe.

On suppose que la masse ne peut se déplacer que verticalement.

La position de l'extrémité inférieure du ressort, donc de la masse est repérée par rapport à l'axe vertical descendant

Rappel : Allongement et force de rappel
  • L'allongement d'un ressort est défini par la différence entre la longueur instantanée et la longueur à vide du ressort C'est une grandeur algébrique (étirement et compression du ressort).

  • La force de rappel (ou force élastique) exercée par le ressort sur la masse s'écrit :

    ( vecteur unitaire relatif au déplacement de la masse)

Temps de résolution indicatif :30 mn
Question n°1

Etude de l'équilibre :

Etablir la condition d'équilibre et définir la longueur du ressort à l'équilibre

Par la suite on notera cette position d'équilibre

Question n°2

Etude des oscillations libres :

A la masse est écartée de sa position d'équilibre d'une distance et est lâchée avec une vitesse initiale négative de norme donc

On désigne :

  • par la variable qui repère la position instantanée, notée de la masse par rapport à

  • et par la variable qui repère la position instantanée de par rapport à sa position d'équilibre notée

  1. Établir l'équation différentielle du mouvement satisfaite par

    Montrer que le système étudié est un oscillateur harmonique dont on donnera la pulsation et la période propre.

  2. Écrire la solution générale de l'équation et déterminer les constantes compte-tenu des conditions initiales.

  3. En déduire l'expression de

Question n°3

Application numérique

On donne

Calculer la longueur du ressort à l'équilibre.

Calculer les caractéristiques de l'oscillateur (pulsation et période propres, amplitude, phase).

Donner les expressions de et Tracer le graphe de

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)