Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

Rappelons les expressions du décrément logarithmique et de la pseudo-période :

\(\delta = \ln \frac{x(t_{n})}{x(t_{n} + T_{1})} = \ln \frac{x_{m}~ e^{-\lambda t_{n}} \cos (\omega_{1} t + \varphi)}{x_{m} ~e^{-\lambda(t_{n} + T_{1})} \cos [ \omega_{1}(t_{n} + T_{1}) + \varphi ]} = \ln (e^{- \lambda T_{1}}) = \lambda T_{1}\)

\(T_{1} = \frac{2 \pi}{\omega_{1}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}}} = \frac{2 \pi}{\omega_{0} \sqrt{1 - \frac{\lambda^{2}}{\omega_{0}^{2}}}}\)

Dans le cas de l'amortissement très faible, \(\lambda \ll \omega_{0}\) implique que \(T_{1} \approx T_{0} = \frac{2 \pi}{\omega_{0}}\) et \(\delta \approx \lambda \frac{2 \pi}{\omega_{0}}\).

Par suite \(2 \delta \ll 1\) et \(e^{-2 \delta} \approx 1 - 2 \delta\).

L'expression (établie dans l'exercice précédent) du rapport \(\frac{\Delta E}{E(t_{n})} = e^{-2\delta} - 1\) s'écrit :

\(\frac{\Delta E}{E(t_{n})} \approx 1 - 2 \delta - 1 = -2 \delta \approx -2 \pi \frac{2 \lambda}{\omega_{0}} = -2 \pi \frac{1}{Q}\)

(sachant que le facteur de qualité de l'oscillateur est par définition \(Q = \omega_{0} \tau_{r} = \frac{\omega_{0}}{2 \lambda}\))

Finalement le rapport demandé s'écrit \(-2 \pi \frac{E(t_{n})}{\Delta E} \approx Q\).

On retrouve la définition par rapport à l'énergie du facteur de qualité. Remarquons que celle-ci n'est valable que dans le cas de l'amortissement très faible.