Types de résonances

Les systèmes évoluent en régime permanent harmonique. La condition \(\lambda < \omega_0 / \sqrt{2}\) étant satisfaite, il existe deux types de résonances, les résonances en amplitude et les résonances de vitesse ou en intensité.

Les résonances en amplitude ont été étudiées précédemment dans le cas des oscillateurs mécanique et électrique. Les résultats principaux sont résumés ci-dessous :

  • Oscillateur mécanique, résonance en amplitude : l'amplitude de la position \(x(t)\) de la masse varie suivant la loi :

    \(x_{pm}(\Omega) = \frac{F_m / m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2 ~\lambda~ \Omega)^2}}\)

  • Oscillateur électrique, résonance en tension : l'amplitude de la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur du circuit série (R, L, C) varie suivant la loi :

    \(u_{C, pm}(\Omega) = \frac{U_m / LC}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2 ~\lambda ~\Omega)^2}}\)

  • Caractéristiques communes :

    pulsation de résonance : \(\Omega_r =\sqrt{\omega_0^2 - 2~ \lambda^2}\) (si \(\lambda \ll \omega_0 : \Omega_r \approx \omega_0\)),

    déphasage à la résonance : \(\Phi_p = -\pi/2\).

On montre qu'il existe un autre type de résonance, appelée résonance de vitesse pour un oscillateur mécanique et résonance en intensité pour un oscillateur électrique.

Les caractéristiques de ce type de résonance sont données ci-dessous sans démonstration :

  • Oscillateur mécanique, résonance de vitesse : l'amplitude de la vitesse \(v(t) = \frac{dx~(t)}{dt}\) de la masse varie suivant la loi :

    \(v_{pm}(\Omega) =  \frac{\Omega F_m / m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2 ~\lambda ~\Omega)^2} }\)

  • Oscillateur électrique, résonance en intensité : l'amplitude de l'intensité \(i(t) = C \frac{du_c(t) }{dt}\) du circuit série (R, L, C) varie suivant la loi :

    \(i_{pm}(\Omega) = \frac{U_m}{\sqrt{R^2 + \Big(L\Omega - \frac{1}{C \Omega}\Big)^2}}\)

  • Caractéristiques communes :

    pulsation de résonance : \(\Omega_r = \omega_0\),

    déphasage à la résonance : \(\Phi_p = 0\) .

Dans le cas de l'oscillateur mécanique, indiquons l'équation satisfaite par la vitesse \(v(t)\) :

Dérivons par rapport à \(t\) l'équation \(x" + \frac{\mu}{m}x' + \frac{k}{m}x = \frac{F_m}{m} \cos \Omega t\),

Nous obtenons l'équation en vitesse \(v" + \frac{\mu}{m} v' + \frac{k}{m} v = - \Omega \frac{F_m}{m} \sin \Omega t\),

A partir de cette équation, on établit les caractéristiques de la résonance de vitesse.