Différence de potentiel aux bornes du condensateur en régime permanent sinusoïdal

Partie

Un générateur de tension de f.e.m. sinusoïdale \(u(t) = U_{m} \cos \Omega ~t\) est branché aux bornes d'un circuit série formé d'une bobine d'inductance \(L\), d'une résistance \(R\) et d'un condensateur de capacité \(C\).

Soit \(u_{C}(t)\) la différence de potentiel aux bornes du condensateur.

Question

Etablir l'équation différentielle satisfaite par \(u_{C}(t)\). Introduire dans cette équation le coefficient d'amortissement \(\lambda\) et la pulsation propre \(\omega_{0}\) de l'oscillateur.

Solution détaillée

A tout instant la différence de potentiel aux bornes du générateur est égale à la somme des différences de potentiel aux bornes de \(R\), de \(L\) et de \(C\) : \(u = u_{R} + u_{L} + u_{C} \quad (1)\).

Représentation du circuit à un instant t

Compte tenu du choix de l'intensité et des règles de signes habituelles, il vient :

\(i = C \frac{\textrm{d } u_{C}}{\textrm{d}t}\), \(u_{R} = R~ i = R C \frac{\textrm{d} u_{C}}{\textrm{d} t}\) , \(u_{L} = L \frac{\textrm{d } i}{\textrm{d}t} = LC \frac{\textrm{d}^{2} u_{C}}{\textrm{d} t^{2}}\)

l'équation (1) satisfaite par \(u_{C}(t)\) s'écrit donc en ordonnant les termes :

\(\frac{\textrm{d}^{2} u_{C}}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{R}{L} \frac{\textrm{d}u_{C}}{\textrm{d}t} + \frac{1}{LC} u_{C} = \frac{U_{m}}{LC} \cos \Omega~t\)

ou \({u_{C}}'' + 2 \lambda {u_{C}}' + \omega_{0}^{2} u_{C} = \frac{U_{m}}{LC} \cos \Omega~t \qquad (2)\)

équation caractéristique d'un oscillateur harmonique forcé, de coefficient d'amortissement \(\lambda = \frac{R}{2 L}\), de pulsation propre \(\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) et de facteur de qualité \(Q =\frac{ \omega_{0}}{2 \lambda} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\).

Question

Déterminer à partir de la représentation complexe de l'équation différentielle, l'expression de \(u_{C}(t)\) en régime permanent.

Aide méthodologique

Afin de ne pas « alourdir » les calculs, il est conseillé :

  • d'introduire les coefficients \(2\lambda\) et \(\omega_{0}^{2}\) habituels dans l'équation différentielle.

  • d'exprimer l'amplitude complexe puis l'amplitude et la phase de la d.d.p. aux bornes du condensateur \(u_{C}(t)\) en fonction des quantités \(\bigg( \frac{U_{m}}{LC} \bigg)\), \(( \omega_{0}^{2} - \Omega^{2})\) et \(( 2 \lambda \Omega)\).

  • de remplacer \(\lambda\) et \(\omega_{0}\),si besoin est, par leur expression respective, fonction de \(R\), \(L\) et \(C\), dans les expressions finales de l'amplitude et de la phase de \(u_{C}(t)\).

Solution détaillée

En régime permanent la solution générale \(u_{C}(t)\) de l'équation différentielle  (2), EASM, est très peu différente de la solution particulière \(U_{Cp}(t)\) de cette équation, soit :

\(u_{C}(t) \approx u_{Cp} (t) = U_{Cpm} \cos ( \Omega t + \Phi_{p})\).

On confond habituellement les deux fonctions \(u_{C}(t)\) et \(u_{C p}(t)\) et l'on écrit en posant \(U_{C pm} = A_{m}\) afin de simplifier les notations :

\(u_{C}(t) = A_{m} \cos ( \Omega t + \Phi_{p})\)

Les expressions de l'amplitude \(A_{m}\) et de la phase \(\Phi_{p}\) s'obtiennent à partir de la représentation en amplitude complexe de l'équation (2).

  • Ecrivons les correspondances :

    \(\begin{array}{ccccc} \textrm{Grandeur r\'eelle instantan\'ee} & \Leftrightarrow & \textrm{Grandeur complexe instantan\'ee} & \Leftrightarrow & \textrm{Amplitude complexe} \\\\ u_{C}(t) = A_{m}~ \cos (\Omega ~t + \Phi_{p}) & \Leftrightarrow & \underline {u_{C}(t)} = A_{m}~ e^{j~(\Omega ~ t + \Phi_p)} & \Leftrightarrow & \underline {A_{m}} = A_{m}~e^{j \Phi_p} \\\\ {u_{C}}' & \Leftrightarrow & j ~\Omega ~\underline {u_{C}(t)} & \Leftrightarrow & j ~\Omega~ \underline{A_{m}} \\\\ {u_{C}}'' & \Leftrightarrow & - \Omega^{2}~\underline{u_{C}(t)} & \Leftrightarrow & -\Omega^{2}~\underline{A_{m}} \\\\ \frac{U_{m}}{LC}~ \cos \Omega t & \Leftrightarrow & \frac{U_{m}}{LC}~e^{j~\Omega~t} & \Leftrightarrow & \frac{U_{m}}{LC} \end{array}\)

\(\qquad\)

Remarque

Les relations ci-dessus s'écrivent également en fonction des valeurs efficaces, réelles et complexes, de \(u_{C}(t)\) et de \(u(t)\), soient respectivement :

\(A = \frac{A_{m}}{\sqrt{2}}\), \(U = \frac{U_{m}}{\sqrt{2}}\), \(\underline{A} = \frac{\underline{A_{m}}}{\sqrt{2}} \textrm{ et } \underline{U} = \frac{\underline{U_{m}}}{\sqrt{2}}\)

  • Déterminons la représentation en amplitude complexe de l'équation (2).

    Pour cela, remplaçons dans cette équation les grandeurs réelles instantanées par les amplitudes complexes correspondantes. En regroupant les termes et en factorisant dans le membre de gauche le terme \(\underline {A_{m}} = A_{m}~e^{j ~\Phi_{p}} \), nous obtenons l'équation complexe :\(\bigg[ (\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}) + j(2 \lambda \Omega) \bigg]~A_{m}~e^{j ~\Phi_{p}} = \frac{U_{m}}{LC}\).

    Nous en déduisons l'amplitude complexe \(A_{m}~e^{j ~\Phi_{p}} = \frac{\frac{U_{m}}{LC}}{(\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}) + j(2 \lambda \Omega)} \quad (3)\)

  • Finalement, l'équation (3), équation entre nombres complexes du type \(\underline{Z_{1}} = \frac{\underline{Z_{2}}}{\underline{Z_{3}}}\) , est équivalente aux deux égalités suivantes :

    • égalité des modules : \(|\underline{Z_{1}} | = \frac{|\underline{Z_{2}}|}{|\underline{Z_{3}}|} \Rightarrow A_{m} = \frac{\frac{U_{m}}{LC}}{\sqrt{( \omega_{0}^{2} - \Omega^{2})^{2} + ( 2 \lambda \Omega)^{2}}} \quad (4)\)

    • égalité des arguments :\(\textrm{arg } \underline{Z_{1}} = \textrm{arg } \underline{Z_{2}} - \textrm{arg } \underline{Z_{3}} \Rightarrow \Phi_{p} = 0 - \textrm{Arc}\tan\frac{2 \lambda \Omega}{\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}}\) ou \(\tan ~\Phi_{p} = - \frac{2 \lambda \Omega}{\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}}\)

La d.d.p. aux bornes du condensateur, en régime permanent, \(u_{C}(t) = A_{m} ~\cos( \Omega~t + \Phi_{p})\) est déterminée, \(\lambda\) et \(\omega_{0}\) s'exprimant en fonction de \(R, L\) et \(C\).

\(\qquad\)

Remarque

Exprimons l'amplitude \(A_{m}\) en fonction de \(U_{m}\), \(R\), \(L\), \(C\) et \(\Omega\).

Sachant que \(\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) et \(\lambda = \frac{R}{2 L}\), la relation (4) s'écrit :

\(A_{m} = \frac{U_{m}}{LC\sqrt{\bigg(\frac{1}{LC} - \Omega^{2}\bigg)^{2} + \frac{R^{2}}{L^{2}} \Omega^{2}}} \quad(5)\)

Soient \(Z_{C} = \frac{1}{C \Omega}\) et \(Z = \sqrt{R^{2} + \bigg( L \Omega - \frac{1}{C \Omega} \bigg)^{2}}\) les modules respectifs des amplitudes complexes \(\underline{Z_{C}} = \frac{1}{jC\Omega}\) et \(\underline{Z} = \sqrt{R + j\bigg(L \Omega - \frac{1}{C \Omega}\bigg)}\) du condensateur et du circuit. Faisons apparaître ces modules dans la relation (5) il vient :

\(A_{m} =\frac{1}{C \Omega} \frac{1}{\sqrt{R^{2} + \bigg(L \Omega - \frac{1}{C \Omega} \bigg)^{2} }}U_{m}\) soit encore \(A_{m} = Z_{C} \frac{1}{Z} U_{m} = Z_{C} I_{pm}\),

\(I_{pm}\) étant l'amplitude de l'intensité du circuit en régime permanent.

On retrouve ainsi l'expression, relative aux amplitudes réelles, que l'on écrirait directement à partir de la « méthode des complexes » appliquée au circuit électrique étudié.