Résolution
Comme pour les circuits du premier ordre, la résolution de ce type d'équation différentielle peut se faire en deux étapes. Il faut d'abord chercher une solution de l'équation dite "homogène" ou "sans second membre":
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} + s(t) = 0\Leftrightarrow\frac{\mathrm ds(t)}{s(t)}=-\frac{dt}{\tau}\Leftrightarrow d(\ln(s(t))=-\frac{\mathrm dt}{\tau}}\)
la solution est :\( \displaystyle{\ln (s(t)) =-\frac{t}{\tau} + \mathrm{c}^{\mathrm{te}}}\)
qui peut aussi s'écrire : \(\displaystyle{s(t) = \mathrm{A.e}^{{-t}/\tau}}\) est une constante qu'il va falloir déterminer en tenant compte des conditions initiales.
On cherche ensuite une solution particulière de l'équation complète, du même type que \(f[e(t)]\) (solution constante si \(f[e(t)]\) a une valeur constante, polynôme du même ordre s'il s'agit d'un polynôme de \(t\) , fonction périodique, etc.)
La solution générale de l'équation complète s'obtient en faisant la somme de la solution de l'équation homogène et de la solution particulière. La valeur des constantes d'intégration est alors donnée par les conditions initiales.
Exemple : Exercice résolu : Réponse à un échelon de température
A la date \(t = 0\) , on plonge un thermomètre indiquant \(\theta_0 = \mathrm{20°C}\) dans un liquide à la température \(\theta_1 = \mathrm{60°C}\) . Une variation brutale de ce type est appelée " échelon ". Le thermomètre a pour constante de temps \(\tau = \mathrm{10 s}\). Quelle est l'évolution de la température lue sur le thermomètre ?
équation d'évolution :
en régime statique, le thermomètre indique la température du liquide ; d'où l'équation :
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt} + \theta(t) = \theta_t}\)
Résolution de l'équation homogène :
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt} + \theta(t) =0}\);\( \displaystyle{\frac{\mathrm d\theta}{\theta}=-\frac{\mathrm dt}{\tau}} \); \(\displaystyle{\ln\theta=-\frac{t}{\tau}+\mathrm c^{te}}\); d'où la solution : \(\displaystyle{\theta(t) = \mathrm{A.e}^{{-t}/\tau}}\) , où \(\mathrm A\) est une constante à déterminer ultérieurement.
Solution particulière de l'équation complète :
comme \(\theta_1\) a une valeur constante, on cherche une solution particulière \(\theta (t)\) constante ; alors sa dérivée est nulle et :
\(\theta (t) = \theta_1\)
la solution complète de l'équation différentielle est donc : \(\displaystyle{\theta(t) = \mathrm{A.e}^{{-t}/\tau}+\theta}\) il reste à déterminer la valeur de \(\mathrm A\) en utilisant les conditions initiales; à \(t = 0\), \(\theta = \theta_0\): \(\theta_0 = \mathrm A + \theta_1\Rightarrow \mathrm A =\theta_0 - \theta_1 = 20 - 60 = - \mathrm{40°C}\) d'où \(\displaystyle{\theta(t)}\):
\(\theta(t)= (\theta_0 - \theta_t)e^{{-t}/{\tau}}+\theta_t =-40.\mathrm e^{{-t}/{10}} + 60\).
le premier terme tend vers zéro quand \(t\) tend vers l'infini : c'est la partie transitoire de la réponse ; le deuxième terme (solution particulière) correspond à la réponse du capteur une fois le régime transitoire disparu.
Exemple : Exercice résolu : Réponse à une variation linéaire de température :
Une résistance chauffante plongée dans un liquide élève la température du bain de \(\mathrm{6°C}\) par minute. La température de départ est \(\mathrm{18°C}\). On suit l'évolution de la température à l'aide d'un capteur qui affiche la valeur de la température, et, au départ, est en équilibre thermique avec le bain. La constante de temps de ce capteur est \(\tau = \mathrm{6 s}\). Quelle est l'équation donnant la température affichée par le capteur ?
Equation d'évolution :
en régime statique, le thermomètre indique la température du liquide ; d'où l'équation :
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt} + \theta(t) = \theta_t=\theta_0+\mathrm{c.}t}\)
Résolution de l'équation homogène :
identique au cas de l'exemple 1 : \(\displaystyle{\theta(t) = \mathrm{A.e}^{{-t}/\tau}}\) , où \(\mathrm A\) est une constante à déterminer ultérieurement.
Solution particulière de l'équation complète :
La température du liquide évolue selon la loi : \(\theta_1 = \theta_0 + \mathrm{c.}t\) ; on cherche donc une solution particulière de la forme : \(\theta(t) = \mathrm{a.}t + \mathrm b\). Cette solution doit vérifier l'équation complète ; sa dérivée est \(\displaystyle{\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}=a}\) ; en reportant cette dérivée et l'expression de \(\theta\) dans l'équation différentielle, il vient : \(\tau\mathrm{.a} + \mathrm{a.}t +\mathrm b= \theta_0 + \mathrm{c.}t\) par identification des deux polynômes du premier degré en \(t\) , on obtient : \(\mathrm a = \mathrm c\)
\(\mathrm b=\theta_0-\tau\mathrm{.a}=\theta_0-\tau\mathrm{.c}\) d'où la solution particulière :
\(\theta(t) = \theta_0 + \mathrm{c.}(t - \tau) =18 + \mathrm{0,1}(t-6)\) la solution complète de l'équation différentielle est donc : \(\displaystyle{\theta(t) = \mathrm{A.e}^{{-t}/{\tau}} + \theta_0 + \mathrm{c.}(t - \tau)}\) il reste à déterminer la valeur de \(\mathrm A\) en utilisant les conditions initiales ; à \(t = 0\), \(\theta =\theta_0 = \mathrm{18°C}\):
\(18 = \mathrm A + 18 + 0,1(0-6) = \mathrm A + 18 - \mathrm{0,6}\)
\(\Rightarrow\mathrm A = \mathrm{0,6}\)
Finalement, l'évolution de la température a pour équation :
\(\displaystyle{\theta(t) = \mathrm{0,6.e}^{{-t}/{\tau}}+ 18 + \mathrm{0,1.}(t - 6)}\)
Le premier terme tend vers zéro quand \(t\) tend vers l'infini : c'est la partie transitoire de la réponse ; le deuxième terme (solution particulière) correspond à la réponse du capteur une fois le régime transitoire disparu. C'est une variation linéaire de la réponse, décalée dans le temps de\(\tau\) par rapport à la variation du mesurande. Ce décalage est appelé traînage. L'erreur \(\mathrm c\tau\) qu'il entraîne dans la détermination de la mesure est appelée erreur de traînage.
