Physique
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c. Equations de propagation des composantes

Les deux équations de propagation : et se résolvent par projection. On obtient respectivement :

Chacune de ces équations admet comme solutions des fonctions de la variable

Démonstration

Soient , , , les composantes du vecteur position et , , les angles du vecteur unitaire avec les axes des coordonnées.

On obtient :

On en tire, par exemple pour l'équation relative à la composante du champ :

d'où l'on déduit la relation entre opérateurs de dérivation :

En appliquant cette relation, on en déduit la nouvelle relation :

Sachant que le vecteur est unitaire, la relation : permet alors d'obtenir l'expression du Laplacien de la composante de :

On montre de même la relation suivante :

L'équation du Laplacien de la composante sur donne alors :

Cette équation est évidemment satisfaite à la condition que :

La solution de l'équation de propagation en projection sur (concernant la composante sur du champ électrique) est donc bien de la forme :

expression dans laquelle le vecteur unitaire est quelconque, et le coefficient est parfaitement déterminé :

On procèderait de même pour les autres composantes de et pour les composantes de .

On trouverait par exemple pour une solution de la forme :

expression où le coefficient a la même valeur que précédemment, mais où rien ne permet de savoir si le vecteur unitaire a la même direction que le vecteur unitaire .

Ce n'est que la signification physique de et de ce vecteur unitaire qui permettront de répondre à cette question.

Légende :
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