Ondes électromagnétiques

Par projection sur \(\vec u\) de l'égalité précédente on obtient une relation qui concerne uniquement les ondes incidentes et réfléchies (puisque l'onde transmise qui est orthogonale à \(\vec u\) s'élimine par cette projection).

En désignant par \(A\) et \(B\) les amplitudes respectives des projections sur \(\vec u\) des vecteurs \(\vec e_i\) et \(\vec e_r\) et en désignant par \(\vec e_{iu}\) et \(\vec e_{ru}\) les vecteurs projetés correspondants, on obtient :

\(\vec e_{iu} = \vec e_{i0} ~.~ \exp j [ \omega_i t - K_i . (\alpha_i . x) ]\)

et \(\vec e_{i0} = A . \vec u\)

\(\vec e_{ru} = \vec e_{r0} ~.~ \exp  j [ \omega_r t - K_r. (\alpha_r . x + \beta_r . y) + \phi_r ]\)

et \(\vec e_{r0} = B . \vec u\)

Avec ces notations, dans le plan \(Z = 0\) et en faisant \(\beta_i = 0\), la projection sur \(\vec u\) de l'équation de continuité devient :

\(A ~.~ \exp j [ \omega_i t - K_i . \alpha_i . x ] = - B ~.~ \exp  j [ \omega_r t - K_r. (\alpha_r . x + \beta_r . y) + \phi_r ]\)

soit, en développant et en regroupant les facteurs des mêmes variables :

\(\exp \big(j [ \omega_i - \omega_r ] t \big)~.~ \exp \big(-j [ K_i . \alpha_i . - K_r . \alpha_r] x) ~.~ \exp \big(j [ K_r . \beta_r . y ] \big) = -\frac{B}{A} \exp (j \phi_r)\)

Cette égalité n'est vérifiée \(\forall t\), \(\forall x\) et \(\forall y\) que si les facteurs multiplicatifs de ces variables sont tous nuls. Dans ce cas, chacune des exponentielles correspondantes vaut alors 1 .

• Conséquences de \(K_r \beta_r = 0\) (avec \(K_r \ne 0\)) :

  \(\Rightarrow ~~~~\beta_r = 0\) : le plan de réflexion est confondu avec le plan d'incidence : \(\beta_i = 0\)

  \(-\frac{B}{A} \exp (j \phi_r) = 1 ~~\Rightarrow \left \{ \begin{array}{lccclll} \textrm{soit : } A = B && \textrm{et} && \exp (j \phi_r) = -1 && \textrm{ i.e. } \phi_r = (2n+1).\pi \\ \textrm{soit : } A = - B && \textrm{et} && \exp (j \phi_r) = +1 && \textrm{ i.e. } \phi_r = (2n).\pi \end{array} \right.\)

  Dans tous les cas (en \(Z=0\)), l'onde réfléchie est déphasée de \(\pi\) par rapport à l'onde incidente ou de signe opposé à l'incidente, ce qui est 2 façons de dire la même chose ...

• Conséquences de \(\omega_i = \omega_r\) (avec \(\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}\)) :

  Les ondes incidente et réfléchie se propageant dans le même milieu, ont donc la même vitesse = \(V\).

  Ces ondes ont aussi même fréquence \(\nu\), même période \(T\), et même longueur d'onde \(\lambda\). ( \(\lambda = V.T\) )

• Conséquences de \(K_i . \alpha_i = K_r . \alpha_r\) :

  \(\Rightarrow ~~~~\) leur vecteur d'onde a aussi le même module \(K\) :

  \(K_i = K_r\) (puisque \(K = \frac{2 \pi}{\lambda}\) )

  (avec \(K_i = K_r\)) \(\Rightarrow ~~~~\) Ces ondes ont même cosinus directeur : \(\alpha_i = \alpha_r\)

  \(\Rightarrow ~~~~ \sin i_1 = \sin i'_1\)

  (avec \(0 < i'_1 < \frac{\pi}{2}\) ) \(\Rightarrow ~~~~i_1 = i'_1\)

  L'angle de réflexion est donc égal à l'angle d'incidence.