Flux de quantité de mouvement. Pression de radiation
On montre dans le cadre de la théorie relativiste, qu'une onde transporte non seulement de l'énergie mais aussi de la quantité de mouvement et du moment cinétique : énergie et quantité de mouvement forment un quadrivecteur.
(Nous n'envisagerons pas ici la question du moment cinétique).
La propriété ci-dessus permet par exemple d'interpréter l'interaction électromagnétique entre 2 particules : c'est par l'intermédiaire du champ que se fait l'échange d'énergie et de quantité de mouvement, et la loi de conservation de la quantité de mouvement doit s'écrire :
\(\vec P_1 + \vec P_2 + \vec P_{\mathrm{champ}} = \overrightarrow{\mathrm{constante}}\)
(au lieu de la relation classique : \(\vec P_1 + \vec P_2 = \overrightarrow{\mathrm{constante}}\))
où \(\vec P_1, \vec P_2, \vec P_{\mathrm{champ}}\) désignent respectivement les quantités de mouvement de la particule 1, de la particule 2 et du champ.
On admettra ici qu'une "particule relativiste" ayant une masse au repos \(m_0\) et une quantité de mouvement \(\vec P\) possède une énergie \(W\) telle que :
\(W^2 = (\mathrm{c} . P)^2 + (m_0 . \mathrm{c}^2)^2\)
(où \(\mathrm{c}\) désigne la vitesse de propagation de la lumière).
Pour l'onde électromagnétique associée aux photons (masse au repos \(= 0\)) on a donc simplement :
\(W^2 = (\mathrm{c} . P)^2\)
La quantité de mouvement \(\vec P\) (pour un élément de volume \(\tau\)) d'une onde électromagnétique qui transporte une énergie \(W\) dans cet élément de volume est donc :
\(\vec P = \frac{W}{\mathrm{c}} \vec u\)
Cette relation, établie dans le cadre du "modèle corpusculaire de la lumière" (photons) reste également valable dans le modèle classique (la démonstration ne sera pas faite ici).
Une "cible" placée dans un champ électromagnétique est donc soumise à une force de poussée, ou force de radiation exercée par ce champ :
\(\vec F_{rad} = \frac{\partial \vec P}{\partial t}\)
Pour évaluer cette force, on peut donc exprimer la variation \(\delta \vec P\) de quantité de mouvement du champ pendant l'intervalle de temps \(\mathrm{d} t\) (en présence de cette cible), et exprimer que :
\(\displaystyle{\vec F_{rad} = \frac{\partial \vec P}{\partial t} = \lim_{\delta z \rightarrow 0} \bigg[ \frac{\delta \vec P}{\delta t} \bigg]}\) (limite quand \(\delta t \rightarrow 0\))
Soit \(A\) la surface sur laquelle s'exerce cette force.
La pression correspondant à cette force est appelée pression de radiation.
Elle est définie par :
\(P_{rad} = \frac{||\vec F_{rad}||}{A}\)
Prenons pour \(A\) la section droite cylindrique de hauteur \(\delta z\) (de volume \(\tau = A . \mathrm{d} z\)), et dont les génératrices sont parallèles à la direction de propagation (selon le schéma du § A.8.b). Un tel cylindre contient une certaine énergie \(W\) et une certaine quantité de mouvement \(\vec P\) qui peuvent varier à cause de l'interaction du champ et de la cible.
On va évaluer la variation \(\delta \vec P\) de quantité de mouvement dans les 2 cas suivants :
absorption d'énergie par la cible sans réflexion,
réflexion sur la cible sans absorption d'énergie.
1. Absorption d'énergie par la cible sans réflexion
Pour exprimer la variation \(\delta \vec P\) (pendant un intervalle de temps \(\delta t\)) de quantité de mouvement de l'onde qui se propage à la vitesse, on doit considérer le volume cylindrique engendré par le déplacement (à cette même vitesse \(\mathrm{c}\)) d'une surface \(A\) pendant \(\delta t\), i.e. un cylindre de hauteur \(\delta z = \mathrm{c} . \delta t\), et donc de volume \(\tau = A . \mathrm{c} . \delta t\) .
En effet, la variation de quantité de mouvement \(\delta \vec P\) est reliée à celle \(\delta W\) de l'énergie \(W\) contenue dans ce volume \(\tau\).
Si l'énergie \(W\) est totalement absorbée par la cible, la variation d'énergie pendant \(\mathrm{d} t\) est alors : \(\delta W = W - 0 = W\) .
D'où : \(\delta \vec P = \frac{1}{2} W . \vec u = \frac{1}{2} . w . A . \mathrm{c} . \delta t . \vec u\) où \(w\) est la densité d'énergie dans ce volume, soit :
\(\delta \vec P = A . w . \delta t . \vec u\)
La force exercée par la radiation : \(\displaystyle{\vec F_{rad} = \frac{\partial \vec P}{\partial t} = \lim_{\delta z \rightarrow 0} \bigg[ \frac{\delta \vec P}{\delta t} \bigg]}\) est alors :
\(\vec F _{rad} = A . w . \vec u\)
La pression de radiation est ainsi : \(P_{rad} = w = \textrm{densit\'e d'\'energie}\).
Règle :
En résumé : si l'énergie \(W\) du faisceau de radiation est totalement absorbée par la cible sans réflexion,
cette cible reçoit également une quantité de mouvement \(\frac{W}{\mathrm{c}} \vec u\) (dirigée dans le sens de la propagation)
la pression de radiation sur la cible est égale à :
\(P_{rad} = w\) (\(w = \textrm{densit\'e d'\'energie de l'onde}\))
2. Réflexion sur la cible sans absorption d'énergie
Si par contre la cible réfléchit une onde (sous incidence normale par exemple), sans absorption d'énergie (\(W\) pour un volume \(\tau\)), cela signifie que si l'onde incidente possède la quantité de mouvement \(\Big( \frac{W}{\mathrm{c}} \Big) . \vec u\), l'onde réfléchie possède la même énergie et donc une quantité de mouvement égale et opposée :
\(- \Big( \frac{W}{\mathrm{c}} \Big) . \vec u\) .
La quantité de mouvement fournie à la cible est égale à la variation \(\delta \vec P\) de la quantité de mouvement de l'onde pendant le temps \(\delta t\) (pendant lequel la portion considérée d'onde est réfléchie).
Cette variation est donc maintenant : \(\delta \vec P = \Big( \frac{1}{\mathrm{c}} \Big) W . (+ \vec u) - \Big( \frac{1}{\mathrm{c}} \Big) W . (- \vec u)\)
La quantité de mouvement fournie à la cible est :
\(\delta \vec P = 2 \frac{W}{\mathrm{c}} \vec u = 2 A . w . \delta t . \vec u\)
\(\Rightarrow \vec F_{rad} = A . 2 w . \vec u ~~~~ \Rightarrow ~~ P_{rad} = 2 w\)
Règle :
En résumé, si la cible réfléchit totalement l'onde sans absorber son énergie \(W\) :
cette cible reçoit une quantité de mouvement : \(2 \frac{W}{\mathrm{c}} \vec u\) (dirigée dans le sens de la propagation incidente)
la pression de radiation sur la cible est égale à : \(P_{rad} = 2w\) (i.e. le double de la densité \(w\) d'énergie de l'onde)