Représentation d'une fonction par sa transformée de Fourier
Le cas des fonctions non périodiques à support borné doit donc être rapproché de celui des fonctions périodiques. Dans ces 2 cas, l'espace de représentation est de dimension infinie, et on peut l'engendrer par une infinité de fonctions de base exponentielles imaginaires.
La différence essentielle entre ces 2 cas tient au fait que, pour les fonctions périodiques cette infinité est dénombrable, alors qu'elle ne l'est pas dans le cas des fonctions à support borné.
On admettra que, malgré cette difficulté théorique, les propriétés et théorèmes énoncés en préliminaire (§.C.1.a) restent valables dans ce cas. En particulier, on définira comme précédemment un produit scalaire et une norme, sous réserve qu'existe cette norme, i.e. que les fonctions considérées soient de module carré sommable de \(- \infty\) à \(+ \infty\).
Définition :
Sous réserve d'existence, la transformée de Fourier \(f(\omega)\) d'une fonction \(F\) de la variable \(t\) est la composante de \(F\) sur la fonction de base \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.\omega t}\) définie par le produit scalaire :
\(\displaystyle{\langle F | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.\omega t} \rangle = f(\omega) = \frac{1}{2 . \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty}} F(t) . \mathrm{e}^{-\mathrm{i}.\omega t} . \mathrm{d}t\)
La fonction \(F\) s'exprime alors par sa décomposition sur les fonctions de base \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.\omega t}\) :
\(\displaystyle{ F(t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \langle F | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.\omega t} \rangle . \mathrm{e}^{\mathrm{i}.\omega t} . \mathrm{d} \omega = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(\omega) . \mathrm{e}^{\mathrm{i}.\omega t} . \mathrm{d} \omega}\)
On peut dire que \(f(\omega) . \mathrm{d}\omega\) est la composante élémentaire de \(F\) sur la fonction de base \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.\omega t}\) à la valeur \(\omega\), ou que \(f(\omega)\) est la densité d'amplitude de \(F\) à la valeur \(\omega\).
Le même type de résultat s'obtient quel que soit le type de variable dont dépend la fonction \(F\), à condition que la transformée de \(F\) soit une fonction \(f\) de la variable conjuguée de celle utilisée pour définir \(F\).
Définition :
Deux variables sont dites conjuguées pour la transformation de Fourier qui a été définie, si leur produit s'exprime comme un angle : en radians.
Exemple :
la pulsation temporelle \(\omega\) et le temps \(t\),
la pulsation spatiale \(K\) et la coordonnée d'espace \(z\) .
Dans le cas d'une variable d'espace, on aura de la même façon :
Définition :
Sous réserve d'existence, la transformée de Fourier \(f(K)\) d'une fonction \(F\) de la variable \(z\) est la composante de \(F\) sur la fonction de base \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.Kz}\) définie par le produit scalaire :
\(\displaystyle{\langle F | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.Kz} \rangle = f(K) = \frac{1}{2 . \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty}} F(z) . \mathrm{e}^{-\mathrm{i}.Kz} . \mathrm{d}z\)
La fonction \(F\) s'exprime alors par sa décomposition sur les fonctions de base \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.Kz}\) :
\(\displaystyle{ F(z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \langle F | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.Kz} \rangle . \mathrm{e}^{\mathrm{i}.Kz} . \mathrm{d} K = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(K) . \mathrm{e}^{\mathrm{i}.Kz} . \mathrm{d} K}\)