Passage à la limite : Série et Transformée de Fourier
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Série de Fourier \(\Rightarrow\) Transformée de Fourier
et
Transformée de Fourier \(\Rightarrow\) Série de Fourier
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Le calcul montre (voir le cours) que :
quand on fait varier le rapport cyclique \((\tau/T)\), les amplitudes successives des termes de cette série de Fourier s'inscrivent sur une enveloppe en \(1/n\) , où n est le rang de l'harmonique considéré,
quand \((\tau/T)\) 0, le spectre discret est de plus en plus resserré : il s'inscrit sur une enveloppe qui est la Transformée de Fourier de la fonction dont le support est restreint au domaine \(\tau\) (la fonction étant nulle partout ailleurs).
Une autre opération de passage à la limite est montrée sur la 2° animation : on part de la Transformée de Fourier d'une fonction créneau, constante sur son support restreint au domaine \(\tau\) (et nulle partout ailleurs).
On construit ensuite une suite de fonctions, en disposant des créneaux identiques au premier, régulièrement et en nombre croissant : on considère alors l'évolution de la Transformée de Fourier de ces fonctions successives.
A la limite, si le nombre de créneaux disposés régulièrement devient infini, la fonction considérée tend alors une fonction périodique et la Transformée de Fourier de ces fonctions successives doit tendre vers la Série de Fourier de la fonction périodique ainsi construite...