Grandeurs physiques [Introduction à la mécanique quantique]

Grandeurs physiques

Outre les positions et vitesses ou quantités de mouvement, on peut s'intéresser à d'autres grandeurs telles que l'énergie cinétique \(\textrm{T}\), l'énergie potentielle \(\textrm{V}\), l'énergie totale \(\textrm{E}\), le moment cinétique de chaque particule, etc...

Ces grandeurs s'expriment en fonction des variables dynamiques. Ce sont des fonctions continues des variables dynamiques. Elles peuvent aussi varier continûment au cours du temps (le long de la trajectoire).

En mécanique classique, toutes les valeurs possibles des grandeurs physiques sont mesurables et l'énergie peut notamment s'échanger continûment.

Energie cinétique d'une particule i de masse m

\(\mathbf{T_i=\frac{1}{2}.m.\textrm v^2=\frac{p^2}{2.m}}\)

où \(\textrm v\) et \(\mathrm{p}\) sont les modules des vecteurs vitesse et quantité de mouvement respectivement.

Pour plusieurs particules, l'énergie cinétique totale \(\mathrm{T}\) est simplement la somme des énergies cinétiques individuelles.

Energie potentielle d'interaction coulombienne entre deux particules

Dans un atome constitué de particules chargées, l'énergie d'interaction entre ces particules est de type coulombien ; elle dépend des charges des particules et de la distance qui les sépare.

Soient deux particules \(\mathrm{i}\) et \(\mathrm{j}\) de charge \(\mathrm{q_i}\) et \(\mathrm{q_j}\) distantes de \(\mathrm{r_{ij}}\). Leur énergie d'interaction est :

\(\mathbf{V_{ij}=\frac{1}{4.\pi.\epsilon_0}.\frac{q_i.q_j}{r_{ij}}}\)

\(\epsilon_0\) est la permittivité du vide : \(\frac{1}{4.\pi.\epsilon_0}=9.10^9\) dans le système S.I.

On peut identifier des formes séparables^[2] et non-séparables^[1] de l'énergie potentielle coulombienne.

Energie totale

L'énergie totale d'un ensemble de particules est simplement la somme de l'énergie cinétique totale et de l'énergie potentielle totale.

Soit par exemple un atome neutre composé d'un noyau \(\textrm M\) de charge \(+\textrm Z.\textrm e\) et de \(\textrm Z\) électrons de charge \(-\textrm e\). On peut étudier l'ensemble des \(\textrm Z\) électrons en interaction gravitant autour de ce noyau considéré comme fixe et placé à l'origine des coordonnées.

Son énergie cinétique totale est \(\textrm T\).
Son énergie potentielle d'interaction répulsive (>0) entre les électrons est \(\mathrm{T_\textrm{ee}}\).
Son énergie potentielle d'interaction attractive (<0) entre les électrons et le noyau est \(\mathrm{V_\textrm{Ne}}\).

Son énergie totale est donc :

\(\mathbf{E=T+V_\textrm{Ne}+V_\textrm{ee}}\)

Notes

Energie potentielle coulombienne non-séparable
Dans le cas général, l'énergie potentielle coulombienne dépend des positions des particules \(i\) et \(j\). Elle n'est donc pas caractéristique, sur le plan de la dynamique, d'une seule particule. On dit qu'elle n'est pas séparable.
Ainsi l'énergie potentielle totale d'interaction entre \(Z\) électrons en orbite autour d'un noyau atomique, avec des vitesses du même ordre de grandeur, se met sous la forme :
\(\mathbf{V_{ee}=\displaystyle{\sum^{Z-1}_{i=1}\sum^Z_{j>i}V_{ij}}}\)
La sommation sur \(j>i\) évite de compter deux fois l'interaction. L'énergie potentielle de répulsion entre les électrons ne peut être mise sous la forme d'une somme d'énergies potentielles individuelles. Cette non-séparabilité traduit l'influence dynamique réciproque qu'ils exercent les uns sur les autres. A chaque instant, le mouvement de l'un d'entre eux dépend de la position des autres.
Energie potentielle coulombienne séparable
Dans le cas de l'interaction entre un électron et un noyau atomique \(j\) de charge \(+Z.\textrm e\) beaucoup plus lourd et lent, on peut en bonne approximation considérer ce dernier comme fixe pendant le mouvement de l'électron, et le placer à l'origine des coordonnées. Posons \(x_j=y_j=z_j=0\) ; l'énergie potentielle d'attraction à laquelle est soumis l'électron \(i\) de charge \(-\textrm e\) est donc :
\(\mathbf{V_i=-\frac{1}{4.\pi.\epsilon_0}.\frac{Z.\textrm e^2}{r_i}}\)
où \(r_i\) est la distance entre l'électron et le noyau. Elle ne dépend plus des coordonnées du noyau et peut être considérée comme une énergie potentielle propre à l'électron et due au champ "externe" du noyau. L'énergie potentielle totale d'interaction de \(Z\) électrons avec le noyau est alors :
\(\mathbf{V_{Ne}=\displaystyle{\sum^Z_{i=1}V_i}}\)
On dit que cette énergie potentielle est séparable. Cette séparabilité résulte d'un découplage entre le mouvement du noyau que l'on gèle et le mouvement de l'électron. L'interaction électrostatique attractive du noyau est indépendante de cette approximation.