La notion de fonction convenable
Pour être physiquement convenable, la fonction d'onde doit se conformer à certaines règles :
Elle doit être continue et dérivable.
Le carré de son module \(\mid\Psi\mid^2\) doit être intégrable.
Pour conserver le sens de densité de probabilité de présence, l'intégrale de \(\mid\Psi\mid^2\) sur n'importe quel volume doit être plus petite que 1.
On a représenté ci-dessous \(\mid\Psi\mid^2\) pour deux fonctions d'une seule variable d'espace (\(\textrm x\)) à un instant donné.
Fonction convenable
Fonction non convenable
La première fonction prend des valeurs appréciables sur une portion réduite de l'axe ; elle est évanescente de part et d'autre de la figure et son intégrale ne diverge pas. C'est une fonction convenable.
La seconde fonction présente des discontinuités ; elle n'est pas convenable pour décrire la densité de probabilité de présence d'une particule.
\(\Psi\) est a priori une fonction complexe comportant une partie réelle et une partie imaginaire ; on se ramène cependant souvent à n'utiliser que des fonctions réelles. \(\Psi^*\) est la fonction complexe conjuguée de \(\Psi\) dans laquelle on remplace le nombre complexe \(\textrm i\) par \(-\textrm i\). On a alors :
\(\mathbf{\mid\Psi\mid^2=\Psi^*.\Psi}\)
Si \(\Psi\) est une fonction réelle, on a alors :
\(\mathbf{\Psi^*=\Psi} \textrm{et} \mathbf{\mid\Psi\mid^2=\Psi^2}\)