Construction des opérateurs usuels
Exemple : La quantité de mouvement
Le vecteur quantité de mouvement :
\(\mathrm{\overrightarrow p=p_x.\overrightarrow i+p_y.\overrightarrow j+p_z.\overrightarrow k}\)
se transforme en l'opérateur différentiel vectoriel :
\(\mathrm{\hat {\overrightarrow p}=-\textrm i.\hbar\bigg(\frac{\partial}{\partial x}\overrightarrow i+\frac{\partial}{\partial y}\overrightarrow j+\frac{\partial}{\partial z}\overrightarrow k\bigg)}\)
Exemple : L'énergie cinétique
L'énergie cinétique d'une particule de masse \(\textrm m\) :
\(\mathrm{E_c=\frac{p^2}{2.m}=\frac{1}{2.m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)}\)
se transforme en l'opérateur différentiel :
\(\mathrm{\hat T=-\frac{\hbar}{2.m}.\bigg(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\bigg)=-\frac{\hbar^2}{2.m}.\Delta}\)
\(\Delta\) est l'opérateur de Laplace ou Laplacien
Exemple : La distance entre une particule
La distance entre une particule et l'origine des coordonnées :
\(\mathrm{r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
se transforme en l'opérateur multiplicatif :
\(\mathrm{\hat r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} =r}\)
Exemple : L'énergie potentielle
L'énergie potentielle coulombienne d'attraction d'un électron de charge \(-\textrm e\) par une charge \(+\textrm Z\textrm e\) placée à l'origine :
\(\mathrm{V=-\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.r}}\)
se transforme en l'opérateur multiplicatif :
\(\mathrm{\hat V=-\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.r}}\)