Exemples
Exemple : Fonctions et valeurs propres de l'opérateur de dérivation par rapport à x
Imaginons une particule se déplaçant sur un axe \(\textrm Ox\) et considérons l'opérateur correspondant à la quantité de mouvement :
\(\mathbf{\hat G=-\textrm i.\hbar.\frac{\partial}{\partial x}}\)
et les fonctions du type \(\mathrm{f(x)=\exp(\textrm i.\alpha.x)}\) où \(\alpha\) est un nombre réel quelconque. Il vient :
\(\mathbf{\hat G.\exp(\textrm i.\alpha.x)=\alpha.\hbar.\exp(\textrm i.\alpha.x)}\)
Les fonctions du type \(\exp(\textrm i.\alpha.x)\) sont fonctions propres de l'opérateur quantité de mouvement, de valeurs propres \(\alpha.\hbar\).
Interprétation :
Lorsque l'on mesure la quantité de mouvement d'une particule, on obtient un nombre (que l'on appellera \(\alpha.\hbar\)). Lors de la mesure, on a précipité la particule dans l'état quantique propre \(\exp(\textrm i.\alpha.x)\).
Après la mesure, cet état évolue au cours du temps.
Exemple : Fonctions et valeurs propres de l'opérateur position
Considérons les fonctions \(\mathrm{\delta(x,x_0)}\) définies par :
\(\mathrm{\delta(x_0,x_0)=1}\),
\(\mathrm{\delta(x,x_0)=0}\) si \(\textrm x\) est différent de \(\mathrm{x_0}\).
Ces fonctions sont fonctions propres de l'opérateur position \(\mathrm{\hat x}\) :
\(\mathbf{\hat x.\delta(x,x_0)=x_0.\delta(x,x_0)} \forall \mathrm{x_0}\)
Interprétation :
Lorsque l'on mesure la position d'une particule, on obtient un nombre (que l'on appellera \(\mathrm{x_0}\)).
Lors de la mesure, on a précipité la particule dans l'état quantique propre \(\mathrm{\delta(x,x_0)}\).
Après la mesure, cet état évolue aussi au cours du temps.
Remarque :
Une fonction propre de la position n'est pas fonction propre de la quantité de mouvement. Si on mesure \(\mathrm{x_0}\), on "crée" l'état \(\mathrm{\delta(x,x_0)}\) pour lequel on ne sait pas quelle est la valeur de \(\mathrm{p_x}\) avec certitude.
Inversement si on mesure une quantité de mouvement \(\alpha.\hbar\), on "crée" l'état \(\mathrm{\exp(\textrm i.\alpha.x)}\) pour lequel on ne connait pas la position de la particule avec certitude.
C'est une traduction du principe d'incertitude de Heisenberg