Illustration
Dans l'illustration ci-dessous, on a représenté l'évolution temporelle de la densité de probabilité de présence d'une particule de masse \(\textrm m\) se déplaçant sur un axe \(\mathrm{x'\textrm Ox}\) et soumise à une énergie potentielle de type harmonique :
\(\mathbf{V(x)=\frac{1}{2}.k.x^2}\)
L'opérateur \(\mathrm{\hat H}\) prend dans ce cas la forme suivante :
\(\mathbf{\hat H=-\frac{\hbar^2}{2.m}.\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}.k.x^2}\)
La fonction d'onde est \(\Psi(\mathrm{q,t})\).
On a choisi une fonction d'onde initiale pour laquelle on connait avec certitude la position de la particule \(\mathrm{x_0}\) (cet état initial est celui obtenu lors de la mesure de la position). Elle est définie par :
\(\Psi(\textrm x,0)=0\) si \(\textrm x\) est différent de \(\mathrm{x_0}\),
\(\Psi(\textrm x_0,0)=1\).
C'est une fonction propre de l'opérateur position, de valeur propre \(\textrm x_0\).
L'incertitude sur la position, estimée par l'étendue de la fonction d'onde sur l'axe, et initialement nulle, augmente au cours du temps. Au bout d'un temps suffisamment long, on atteint un état stationnaire dans lequel la densité ne varie plus avec le temps.