Systèmes conservatifs
Dans le cas des systèmes conservatifs pour lesquels l'opérateur ne dépend pas explicitement du temps, il est commode de rechercher des solutions particulières pour lesquelles les variables d'espace et de temps se séparent et on peut poser :
\(\mathbf{\Psi(q,t)=\Phi(q).f(t)}\)
On peut démontrer, en insérant cette expression dans l'équation de Schrödinger dépendante du temps, qu'on obtient alors deux équations portant respectivement sur la partie spatiale \(\Phi(\mathrm{q})\) et la partie temporelle \(\mathrm{f(t)}\).
\(\mathbf{\hat H \Phi(q)=E.\Phi(q)}\)
\(\mathbf{\textrm i.\hbar.\frac{\textrm df(t)}{\textrm dt}=E.f(t)}\)
L'équation en \(\Phi(\mathrm{q})\) est l'équation aux valeurs propres de \(\mathrm{\hat H}\). Elle est appelée équation de Schrödinger indépendante du temps. Ses solutions \(\mathrm{\Phi_n(q)}\) indicées par un nombre quantique principal \(\mathrm{n}\) donnent les valeurs possibles de l'énergie totale \(\mathrm{E_n}\) du système.
L'équation de Schrödinger indépendante du temps :
\(\mathbf{\hat H \Phi_n(q)=E_n.\Phi_n(q)}\)
Pour chaque valeur de \(\mathrm{E_n}\), la fonction \(\mathrm{f_n(t)}\) donne l'évolution temporelle de l'état quantique. La résolution de l'équation temporelle donne :
La partie temporelle de la fonction d'onde :
\(\mathbf{f_n(t)=\exp\Big(-\frac{\textrm i.E_n.t}{\hbar}\Big)}\)