Etats stationnaires
Considérons la densité de probabilité de présence associée à un état quantique obtenu suivant la procédure précédente. Il vient alors :
\(\mathbf{\mid\Psi_n\mid^2=\Psi_n^* \Psi_n=\Phi_n^*.\exp\Big(+\frac{\textrm i.E_n.t}{\hbar}\Big).\Phi_n.\exp\Big(-\frac{\textrm i.E_n.t}{\hbar}\Big)}\)
\(\mathbf{\mid\Psi_n\mid^2=\Phi_n^*.\Phi_n=\mid\Phi_n\mid^2}\)
\(\Psi_n\) dépend du temps mais son module au carré n'en dépend plus : la densité de probabilité de présence est constante au cours du temps ; l'état quantique que l'on vient de dériver pour un système conservatif est un état stationnaire.
Outre la constance de la densité de probabilité de présence au cours du temps, la caractéristique principale d'un état stationnaire est d'être un état propre de l'opérateur hamiltonien, d'énergie totale également invariante. Pour ces états, l'équation de Schrödinger indépendante du temps suffit donc et on peut se limiter à ne rechercher que la partie spatiale \(\Phi_n\) de la fonction d'onde pour obtenir les énergies possibles du système.
Les états stationnaires ne représentent cependant qu'une classe des états quantiques que l'on privilégie dans l'étude de systèmes qui ne sont pas soumis à des perturbations variables. Ainsi l'étude des fonctions d'onde stationnaires des électrons d'un atome ou d'une molécule isolée permet d'obtenir ses niveaux d'énergie électronique qui constituent son "empreinte digitale" : ces états gouvernent en effet sa capacité d'absorption et d'émission lumineuse dans une certaine gamme du rayonnement. On accède ainsi à la compréhension de la "signature spectroscopique" des édifices moléculaires.
On peut aussi être amené à étudier des processus dynamiques pour lesquels l'énergie potentielle varie au cours du temps et il est alors important dans ce cas de pouvoir suivre l'évolution temporelle de la fonction d'onde : dans une réaction chimique par exemple, la position des noyaux des atomes évolue au cours du processus réactionnel ; il en découle une variation du champ électrostatique auquel sont soumis les électrons. L'évolution de la fonction d'onde des électrons dans ce processus fournit des informations propres à la nature dynamique de la réaction chimique.