Principes de la mécanique quantique

\(\mathrm{\widehat{\textrm{A}}\Psi(\textrm x,t) = \bigg(- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}\bigg)\exp[-iEt/ \hbar] \exp  [ipx/ \hbar]}\)

Or, l'opérateur\(\widehat{\textrm{A}} = -\mathrm{ i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}}\)n'agit que sur des fonctions de la seule variable. On a alors

\(\mathrm{- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}(\exp[-iEt/ \hbar] \exp  [ipx/ \hbar]) = \exp[-iEt/ \hbar] \bigg(- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}\exp  [ipx/ \hbar]\bigg)}\)

comme

\(\mathrm{- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}\exp  [ipx/ \hbar] = p \exp  [ipx/ \hbar]}\)

il vient :

\(\mathrm{\widehat{\textrm{A}}\Psi(x,t) = p \exp[-iEt/ \hbar] \exp  [ipx/ \hbar] = p \Psi(x,t)}\)

Le résultat est la nouvelle fonction\(\Phi\)définie par :

\(\mathrm{\Phi(x,t) = p\Psi(x,t)}\)