Exemple n°4 d'action d'un opérateur
Durée : 10 mn
Note maximale : 4
Question
L'opérateur\(\widehat{\textrm{A}}\)et la fonction\(\Psi(\textrm{x,t})\)sont définis respectivement comme suit :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{A}} = - i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}}\)et\(\mathrm{\Psi(x,t) =\exp[-iEt/ \hbar] \exp (ipx/ \hbar)}\)
x et t sont les variables, p et E sont des constantes.
Déterminer le résultat de l'action de l'opérateur\(\widehat{\textrm{A}}\)sur la fonction\(\Psi(\textrm{x,t})\).
Solution
\(\mathrm{\widehat{\textrm{A}}\Psi(\textrm x,t) = \bigg(- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}\bigg)\exp[-iEt/ \hbar] \exp [ipx/ \hbar]}\)
Or, l'opérateur\(\widehat{\textrm{A}} = -\mathrm{ i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}}\)n'agit que sur des fonctions de la seule variable. On a alors
\(\mathrm{- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}(\exp[-iEt/ \hbar] \exp [ipx/ \hbar]) = \exp[-iEt/ \hbar] \bigg(- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}\exp [ipx/ \hbar]\bigg)}\)
comme
\(\mathrm{- i \hbar\frac{ \partial}{ \partial x}\exp [ipx/ \hbar] = p \exp [ipx/ \hbar]}\)
il vient :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{A}}\Psi(x,t) = p \exp[-iEt/ \hbar] \exp [ipx/ \hbar] = p \Psi(x,t)}\)
Le résultat est la nouvelle fonction\(\Phi\)définie par :
\(\mathrm{\Phi(x,t) = p\Psi(x,t)}\)