Cas de suites tendant vers + ou -
Le théorème précédent s'étend dans certains cas où interviennent des suites tendant vers \(+\infty\) ou \(-\infty\). Par contre il est d'autres cas où l'on ne peut pas conclure de façon générale. Cela justifie, a posteriori, la réserve vis à vis de la notation \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\).
Encore une fois les suites qui tendent vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) ne sont pas des suites convergentes, même si leur comportement, parmi les suites divergentes est particulier.
Toutes les propositions énoncées dans ce paragraphe se démontrent immédiatement. Leur preuve peut constituer un exercice facile.
Proposition :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites réelles ; on suppose que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\). Alors si \((v_n)\) est bornée ou tend vers \(+\infty, (u_n)+(v_n)\) tend vers \(+\infty\).
Preuve :
Utilliser les définitions.
Remarque :
En revanche si \((v_n)\) tend vers \(-\infty\), on ne peut conclure de façon générale comme le montrent les exemples suivants.
Exemple :
On considère la suite \(\displaystyle{(u_n)= \left(n^2\right)}\) et on prend successivement pour \((v_n)\) les suites \(\displaystyle{(n), \left(-n^2 +1\right)}\) et \(\displaystyle{\left(-n^3\right)}\).
La suite \((u_n)+(v_n)\) tend vers \(+\infty\) dans le premier cas, a pour limite 1 dans le second, tend vers \(-\infty\) dans le troisième.
Proposition :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites réelles ; on suppose que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)). Alors si \((v_n)\) tend vers \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) ou est minorée en valeur absolue par un réel strictement positif, la suite \((u_n)(v_n)\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), (le signe étant donné par la règle habituelle).
Preuve :
Utilliser les définitions.
Remarque :
En revanche si \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}v_n=0}\) on ne peut pas conclure de manière générale comme le montrent les exemples suivants.
Exemple :
On considère la suite \(u_n=(n)\) et on prend successivement pour \((v_n)\) les suites \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n^2}\right)_{n\geq 1},\left(\frac{1}{n}\right)_{n\geq 1},\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)_{n\geq 1}}\). La suite \((u_n)(v_n)\) a pour limite \(0\) dans le premier cas, 1 dans le second et tend vers \(+\infty\) dans le troisième.
Proposition :
Soit \((u_n)\) une suite réelle.
Si \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) alors \(\displaystyle{\frac{1}{(u_n)}}\) est définie à partir d'un certain rang, elle converge et a pour limite \(0\).
Si \((u_n)\) a pour limite \(0\) alors, si elle est définie, \(\displaystyle{\frac{1}{\left(\vert u_n\vert\right)}}\) tend vers \(+\infty\).
Preuve :
Utilliser les définitions.
Attention :
C'est seulement dans le cas où \(u_n\) a un signe constant à partir d'un certain rang que \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\) entraîne \(\displaystyle{\frac{1}{(u_n)}}\) tend vers \(+\infty\) (ou \(-\infty\)).