Suites de nombres réels

a. $\left\{\begin{array}{ll}u_0\in\mathbb R &\textrm{ et}\\u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}\end{array}\right.$

La fonction $\phi$ est la fonction $\displaystyle{x\mapsto\sqrt{1+x}}$ ; pour que la suite soit définie il faut (et il suffit) que l'on ait $u_0\geq -1$.

• Etude graphique

Le graphe et la première bissectrice se coupent au point d'abscisse $\displaystyle{\frac{1+\sqrt5}{2}}$.

Pour $\displaystyle{-1\leq u_0<\frac{1+\sqrt5}{2}}$ on constate un phénomène d'"escalier montant" : la suite $(u_n)$ est croissante, elle est convergente et a pour limite $\displaystyle{\frac{1+\sqrt5}{2}}$ .

Pour $\displaystyle{u_0=\frac{1+\sqrt5}{2}}$ la suite $(u_n)$ est stationnaire :

$\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,u_n=\frac{1+\sqrt5}{2}}$ .

Pour $\displaystyle{u_0>\frac{1+\sqrt5}{2}}$ on constate un phénomène d'"escalier descendant" : $(u_n)$ est décroissante, elle est convergente et a pour limite $\displaystyle{\frac{1+\sqrt5}{2}}$.

• Etude théorique

L'intervalle $I = [-1, +\infty[$ est stable par $\phi \textrm{ et }\phi$est continue et croissante sur $I$. Si $u_0\geq -1$ la suite $(u_n)$ est monotone et si elle est convergente sa limite ne peut être que l'unique point fixe de la fonction $\phi$, soit $\displaystyle{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}}$.

Par ailleurs les intervalles $[-1,\alpha[\textrm{ et }]\alpha,+\infty[$ sont stables par $\phi$ , la condition $u_0<\alpha$ entraîne donc, par une récurrence immédiate, pour tout entier $n,u_n<\alpha$ ; de même la condition $u_0>\alpha$ implique, pour tout entier $n,u_n>\alpha$.

En écrivant $\displaystyle{\phi(x)-x=\frac{1+x-x^2}{x+\sqrt{1+x}}}$, on remarque que l'on a :

$\displaystyle{\phi(x)\geq x\textrm{ pour }x\in[0,\alpha]\textrm{ et }\phi(x)\leq x\textrm{ pour }x\in[\alpha,+\infty]}$

Donc si $u_0<\alpha$ la suite $(u_n)$ est croissante, comme elle est majorée par $\alpha$ elle est convergente, sa limite est $\displaystyle{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}}$.

Si $u_0>\alpha$ la suite $(u_n)$ est décroissante, comme elle est minorée par $\alpha$ elle est convergente, sa limite est $\displaystyle{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}}$ .

Autre méthode : la fonction $\phi$ vérifie .

$\displaystyle{\forall x\geq -1,\phi'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}},\textrm{ d'où },\forall x\geq 0,\vert\phi'(x)\vert\leq\frac{1}{2}}$

En appliquant la méthode du § 7.4. on a

$\displaystyle{\forall n\geq 1,\vert u_n-\alpha\vert\leq\left(\frac{1}{2}\right)^n\vert u_0-\alpha\vert}$.

D'où la conclusion.

On remarque, que cette méthode ne met pas en évidence la monotonie de la suite, mais en revanche montre la rapidité de la convergence . La suite converge au moins aussi vite qu'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$.