Suites de nombres réels

a. \(\left\{\begin{array}{ll}u_0\in\mathbb R &\textrm{ et}\\u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}\end{array}\right.\)

La fonction \(\phi\) est la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\sqrt{1+x}}\) ; pour que la suite soit définie il faut (et il suffit) que l'on ait \(u_0\geq -1\).

• Etude graphique

Le graphe et la première bissectrice se coupent au point d'abscisse \(\displaystyle{\frac{1+\sqrt5}{2}}\).

Pour \(\displaystyle{-1\leq u_0<\frac{1+\sqrt5}{2}}\) on constate un phénomène d'"escalier montant" : la suite \((u_n)\) est croissante, elle est convergente et a pour limite \(\displaystyle{\frac{1+\sqrt5}{2}}\) .

Pour \(\displaystyle{u_0=\frac{1+\sqrt5}{2}}\) la suite \((u_n)\) est stationnaire :

\(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,u_n=\frac{1+\sqrt5}{2}}\) .

Pour \(\displaystyle{u_0>\frac{1+\sqrt5}{2}}\) on constate un phénomène d'"escalier descendant" : \((u_n)\) est décroissante, elle est convergente et a pour limite \(\displaystyle{\frac{1+\sqrt5}{2}}\).

• Etude théorique

L'intervalle \(I = [-1, +\infty[\) est stable par \(\phi \textrm{ et }\phi \)est continue et croissante sur \(I\). Si \(u_0\geq -1\) la suite \((u_n)\) est monotone et si elle est convergente sa limite ne peut être que l'unique point fixe de la fonction \(\phi\), soit \(\displaystyle{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}}\).

Par ailleurs les intervalles \([-1,\alpha[\textrm{ et }]\alpha,+\infty[\) sont stables par \(\phi\) , la condition \(u_0<\alpha\) entraîne donc, par une récurrence immédiate, pour tout entier \(n,u_n<\alpha\) ; de même la condition \(u_0>\alpha\) implique, pour tout entier \(n,u_n>\alpha\).

En écrivant \(\displaystyle{\phi(x)-x=\frac{1+x-x^2}{x+\sqrt{1+x}}}\), on remarque que l'on a :

\(\displaystyle{\phi(x)\geq x\textrm{ pour }x\in[0,\alpha]\textrm{ et }\phi(x)\leq x\textrm{ pour }x\in[\alpha,+\infty]}\)

Donc si \(u_0<\alpha\) la suite \((u_n)\) est croissante, comme elle est majorée par \(\alpha\) elle est convergente, sa limite est \(\displaystyle{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}}\).

Si \(u_0>\alpha\) la suite \((u_n)\) est décroissante, comme elle est minorée par \(\alpha\) elle est convergente, sa limite est \(\displaystyle{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}}\) .

Autre méthode : la fonction \(\phi\) vérifie .

\(\displaystyle{\forall x\geq -1,\phi'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}},\textrm{ d'où },\forall x\geq 0,\vert\phi'(x)\vert\leq\frac{1}{2}}\)

En appliquant la méthode du § 7.4. on a

\(\displaystyle{\forall n\geq 1,\vert u_n-\alpha\vert\leq\left(\frac{1}{2}\right)^n\vert u_0-\alpha\vert}\).

D'où la conclusion.

On remarque, que cette méthode ne met pas en évidence la monotonie de la suite, mais en revanche montre la rapidité de la convergence . La suite converge au moins aussi vite qu'une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\).