Suites de nombres réels

1.

a) \(\displaystyle{\forall x>0,~f(x)-\sqrt{a}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)-\sqrt{a}=\frac{1}{2x}(x^2-2\sqrt{a}x+a)}\)

\(\displaystyle{f(x)-\sqrt{a}=\frac{1}{2x}(x-\sqrt{a})^2\ge0}\)

ce qui montre la première inégalité.

\(\displaystyle{\forall x>0,~x-f(x)=x-\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)=\frac{1}{2x}(x^2-a)}\)

donc \(\forall x>\sqrt{a},~x-f(x)\ge0\)

ce qui prouve la deuxième inégalité.

[3 points]

b) La propriété \(P_n : u_n\ge\sqrt{a}\) se démontre par récurrence :

• \(u_1=f(u_0)\ge\sqrt{a}\) par a) donc \(P_1\) est vraie.

• supposons \(P_n\) vraie : \(u_n\ge\sqrt{a}\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\ge\sqrt{a}\)

  et \(P_{n+1}\) est vraie donc la propriété est vraie pour tout \(n\).

La deuxième inégalité de a) montre alors que \(\forall n\ge1,~u_{n+1}=f(u_n)\le u_n\) donc la suite \(u\) est décroissante à partir du rang 1. Elle est minorée (à partir du rang 1) par \(\sqrt{a}\), donc elle est convergente.

Soit \(L=\lim u_n\), la fonction \(f\) qui définit la récurrence est continue sur \(]0,+\infty[\), on a alors

\(\left\{\begin{array}{ccc}\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n+1}&=&L\\\lim_{n\rightarrow\infty}f(u_n)&=&f(L)\end{array}\right.\)

, on en déduit \(L=f(L)\) c'est à dire \(\displaystyle{L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{1}{L}\right)}\) d'où \(L=\sqrt{a}\).

[3 points]

2)

a) Comme \(u_0\ne\sqrt{a}\), \(u_1\ne\sqrt{a}\) et par récurrence \(u_n\ne\sqrt{a}\) et d'après le 1a) \(\forall n\ge1,~u_n>\sqrt{a}\) donc \(v_n=\ln~(u_n-\sqrt{a})\) est défini. Comme \(u_n-\sqrt{a}\) tend vers 0, \(v_n\) tend vers \(-\infty\) et il existe un entier \(m\) tel que \(v_m<0\).

[2 points]

b) \(\begin{array}{llll}v_{q+1}&=&\ln~(u_{q+1}-\sqrt{a})=\ln~\left(\displaystyle{\frac{1}{2}\left(u_q+\frac{1}{u_q}\right)-\sqrt{a}}\right)=\ln~\left(\displaystyle{\frac{1}{2u_q}(u_q-\sqrt{a})^2}\right)\\&=&2\ln~(u_q-\sqrt{a})-\ln~(2u_q)=2v_q-\ln~(2u_q)\le 2v_q-\ln~(2\sqrt{a})\end{array}\)

puisque \(2u_q\ge2\sqrt{a}\).

[2 points]

c) \(\begin{array}{lll}v_{m+1}&\le2v_m-\textrm{ln }(2\sqrt{a})&\times2^{p-1}\\v_{m+2}&\le2v_{m+1}-\textrm{ln }(2\sqrt{a})&\times2^{p-2}\\\vdots&\vdots&\vdots\\v_{m+p}&\le2v_{m+p-1}-\textrm{ln }(2\sqrt{a})&\times1\end{array}\)

En faisant la somme de ces inégalités, chacune multipliée par la puissance de 2 indiquée à droite et en simplifiant les termes en \(v_k\) on obtient

\(v_{m+p}\le2^pv_m-(1+2+\cdots+2^{p-1})\ln~(2\sqrt{a})\le2^pv_m-(2^p-1)\ln~(2\sqrt{a})\)

[2 points]

d) Si \(a=e\) et \(u_0=2\), on a \(v_0=\ln~(2-\sqrt{e})\). On peut donner une approximation numérique : \(v_0=-\textrm{1,04..}\) ou bien le montrer sans aide technique : \(2<e<3~\Rightarrow~1<\sqrt{e}<2~\Rightarrow~2-\sqrt{e}<1~\Rightarrow~\ln~(2-\sqrt{e})<0\)

\(u_p-\sqrt{e}<10^{-10}~\Leftrightarrow~v_p=\ln~(u_p-\sqrt{e})<-10\ln~10<-24\)

Ecrivons la majoration du c) avec \(m=0\) :

\(\forall p\in\mathbb N,~v_p\le2^pv_0-(2^p-1)\ln~(2\sqrt{e})<-(2^p-1)\ln~(2\sqrt{e})\)

Il suffit donc de trouver \(p\) tel que \(\displaystyle{-(2^p-1)\left(\ln~2+\frac{1}{2}\right)<-24}\) ou \(\displaystyle{(2^p-1)\left(\ln~2+\frac{1}{2}\right)>24}\).

Compte tenu des données numériques de l'énoncé, il suffit que \((2^p-1).\textrm{1,19}>24\)

\(p=4\) ne convient pas \((2^4=16)\) mais \(p=5\) convient \((2^5=32)\).

[2 points]

e) Cette majoration est correcte -c'est d'ailleurs celle utilisée dans le cas particulier du d)- mais elle présente un inconvénient si \(\displaystyle{0<a\le\frac{1}{4}}\) : on majore la suite \((v_n)\) (qui tend vers \(-\infty\)) par une suite constante ou une suite qui tend vers \(+\infty\). Ce n'est pas une majoration efficace.

[1 point]

f) Majorant \(-(2^p-1)\ln~(2\sqrt{a})\) par 0 on obtient \(w_{m+1}\le2w_n\) puis \(v_{m+p}\le2v_{m+p-1}\le2^pv_m\).

Cela veut dire que \(u_{m+p}-\sqrt{a}\le(u_{m+p-1}-\sqrt{a})^2\le(u_m-\sqrt{a})^{2^p}\), cela peut se traduire en disant que le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

Commentaire : on dit que la convergence est biquadratique, c'est une convergence très rapide.

[2 points]

g) Remarquons que la suite \((v_n)\) est décroissante. On va choisir \(m\) pour que \(v_m<2\ln~(2\sqrt{a})\). L'inégalité du b) peut s'écrire (en tenant compte de la décroissance)

\(\displaystyle{\forall k\ge m,~v_{k+1}\le2v_k-\ln~(2\sqrt{a})\le\frac{3}{2}v_k+\frac{1}{2}v_k-\ln~(2\sqrt{a})\le\frac{3}{2}v_k+\frac{1}{2}v_m-\ln~(2\sqrt{a})\le\frac{3}{2}v_k}\)

et on a encore une convergence géométrique vers 0 de la suite \((v_n)\).

[2 points]