Exercice de synthèse

Partie

Soit une suite à termes réels strictement positifs, on suppose que quand n tend vers l'infini le rapport \frac{u_{n+1}}{u_n} admet une limite (finie) L.

Question

a) Montrer que si L < 1 la suite (u_n) converge vers 0.

Question

b) Que se passe-t-il si L > 1 ?

Question

c) Que se passe-t-il si L = 1 ?

Question

d) Montrer que la suite w de terme général w_n=\sqrt[n]{u_n} converge vers L.

Question

e) Application : on prend u_n=\frac{n!}{n^n},quel résultat obtient-on pour le comportement de \sqrt[n\,]{n!} quand n tend vers l'infini ?