Généralités sur les fonctions

On considère une fonction réelle dont on note \(D\) l'ensemble de définition.

Il est bien évident que la question d'une parité éventuelle ne se pose que si \(D\) est symétrique par rapport à 0. On remarque que si \(f\) est impaire et si \(0\) appartient à \(D\) alors \(f (0)=0\).

On considère l'ensemble \(F(I,\mathbb R)\) des applications d'un intervalle \(I\) centré en \(0\) dans \(\mathbb R\); le sous ensemble des applications paires (resp. impaires) constitue-t-il un sous-espace vectoriel de \(F(I,\mathbb R)\) ?

Oui ou non ?

Réponse : oui, car :

Soit par exemple \(P(I,\mathbb R)\), l'ensemble des fonctions paires définies sur \(I\), alors :

• 0 (fonction nulle) appartient à \(P(I,\mathbb R)\) qui n'est donc pas vide,

• \(\forall f,\forall g\in P(I,\mathbb R),\forall\lambda,\forall\mu\in\mathbb R, \lambda f+\mu g\in P(I,\mathbb R)\).

On montre de même que l'ensemble \(I(I,R)\), des fonctions impaires sur \(I\) est un sous espace vectoriel de \(F(I, \mathbb R)\).

Ces deux sous espaces vectoriels sont supplémentaires dans \(F(I,\mathbb R)\), on a en effet :

• \(\displaystyle{P(I,\mathbb R)\cap I(I,\mathbb R)=\{0\}}\)

• pour \(f\in F(I,\mathbf R)\), on a, si on note \(g \textrm{ et }h\) les fonctions définies par :

  \(\displaystyle{g :x\mapsto\frac{1}{2}(f(x)+f(-x)) \textrm{ et } h :\quad x\mapsto\frac{1}{2}(f(x)-f(-x))}\)

  \(f=g+h,\textrm{ avec }g\in P(I,\mathbb R)\textrm{ et }h\in I(I,\mathbb R)\).

Montrer que si \(f\) est paire (resp. impaire), alors le graphe de \(f\) est symétrique par rapport à l'axe \(0y\) (resp. le point \(0\)).

Solution :

La symétrie orthogonale \(s\) d'axe \(0y\) transforme un point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) en \(s(M)\) de coordonnées \((-x,y)\); ainsi, si la fonction \(f\) est paire, le graphe de \(f\) est invariant par \(s\). De même la symétrie centrale \(\sigma\) de centre \(0\) transforme un point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) en \(\sigma(M)\) de coordonnées \((-x,-y)\), donc, si la fonction f est impaire, le graphe de f est invariant par \(\sigma\).

Les propriétés de parité permettent donc de réduire l'étude de la fonction à l'ensemble \(D\cap\mathbb R_+\) ; on trace alors la partie du graphe correspondante et on complète par la symétrie \(s\) ou \(\sigma\) suivant le cas.

Plus généralement s'il existe un réel \(a\) tel que :

\(\displaystyle{\forall u\in\mathbb R,(a+u\in D\Rightarrow a-u\in D}\) \(\underline{\textrm{et}}\) \(\displaystyle{f(a+u)=f(a-u))}\),

soit encore

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R,(x\in D\Rightarrow2a-x\in D}\) \(\underline{\textrm{et}}\) \(\displaystyle{f(2a-x)=f(x))}\),

le graphe de \(f\) est symétrique par rapport à la droite d'équation \(x=a\).

De même s'il existe des réels \(a \textrm{ et }b\) tels que :

\(\displaystyle{\forall u\in\mathbb R,(a+u\in D\Rightarrow a-u\in D}\) \(\underline{\textrm{et}}\) \(\displaystyle{f(a+u)-b=-f(a-u)+b)}\),

soit encore

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R,(x\in D\Rightarrow2a-x\in D}\) \(\underline{\textrm{et}}\) \(\displaystyle{f(2a-x)=2b-f(2a-x))}\)

le graphe de \(f\) est symétrique par rapport au point de coordonnées \((a, b)\). Dans ces deux cas on réduit l'étude à l'intervalle \(D\cap[ a,+\infty[\).