Famille de fonctions [Généralités sur les fonctions]

Famille de fonctions

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soit f une combinaison linéaire des fonctions constantes, linéaires et $\displaystyle{x\mapsto\sin~\left(\frac{\pi x}{2}\right)}$ , c'est à dire qu'il existe trois réels $\alpha,\beta, \gamma$ tels que :

$\displaystyle{\forall x\in\mathbb R,~f(x)=\alpha+\beta x+\gamma\sin~\left(\frac{\pi x}{2}\right)}$

A quelle(s) condition(s) sur $\alpha, \beta$ et $\gamma$ , la fonction est-elle paire ? impaire ? bornée ? périodique ?
Soit $x_n$ une suite croissante à valeurs strictement positives et qui tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini. Calculer la limite de $\displaystyle{\frac{f(x_n)}{x_n}}$ quand $n$ tend vers l'infini.
A quelles valeurs de $\alpha,\beta$ et $\gamma$ correspond le graphe ci-dessous ?
Remarquer qu'il passe par les points $(x=0,y=1)$ et $(x=1,y=1)$ et $(x=2,y=-1)$ .

Solution

On utilise les mêmes notations que dans l'énoncé pour la fonction $f$ .
- paire :
  pour tout $x$ réel $\displaystyle{f(x)=f(-x)~\Rightarrow~2\beta x=2\gamma\sin~\left(\frac{\pi x}{2}\right)}$
  Donnant à $x$ les valeurs $2$ puis $1$ , on obtient que nécessairement $\gamma=\beta=0$ , condition qui est clairement suffisante.
- impaire :
  Une condition nécessaire pour qu'une fonction soit impaire est qu'elle s'annule en $0$ ce qui impose ici $\alpha=0$ . De plus, les fonctions linéaires et $\sin$ sont impaires, leur somme l'est donc aussi et c'est donc une condition suffisante.
- bornée :
  Les fonctions constantes et $\sin$ sont bornées, la fonction $f$ est donc bornée si et seulement si le coefficient de $x$ est nul donc $\beta=0$ .
- périodique :
  Montrons par l'absurde que si $f$ est périodique, alors $\beta=0$ . En effet, si $\beta\ne0$ , $f(x)$ tend vers l'infini quand $x$ tend vers l'infini (voir question précédente). Si $f$ est périodique de période $T$ , alors $f(kT)$ tend également vers l'infini quand $k$ tend vers l'infini, or $f(kT)=f(0)$ qui est fini. Ceci est absurde, d'où $f$ non périodique.
  Donc, il est nécessaire que $\beta=0$ et c'est aussi une condition suffisante.
On a, pour tout $\displaystyle{n~~\frac{f(x_n)}{x_n}=\frac{\alpha}{x_n}+\beta+\frac{\gamma\sin~\left(\frac{\pi x_n}{2}\right)}{x_n}}$
Comme $x_n$ tend vers $+\infty$ et que la fonction $\sin$ est bornée, on obtient
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x_n)}{x_n}=\beta}$
Comme $f(0)=1$ , on obtient $\alpha=1$ . De $f(2)=-1$ , on tire $\beta=-1$ , car $\displaystyle{\sin~\left(\frac{2\pi}{2}\right)=0}$ , le terme en facteur de $\gamma$ disparait. On utilise enfin, $f(1)=1$ et on en déduit que $\gamma=1$ .