Fonctions convexes

Soit $f$ une application d'un intervalle $\mathcal I$ dans $\mathbf R$ ; l'application $f$ est convexe si et seulement si l'ensemble $\mathcal E_f$ est convexe

On utilise le fait qu'un point d'un segment est barycentre à coefficients positifs des extrémités du segment.

Condition nécessaire

On suppose $f$ convexe. Soient $P_1(x_1,y_1)$ et $P_2(x_2,y_2)$ deux points de $E_f$ on a $f(x_1)\le y_1$ et $f(x_2)\le y_2$. Si $P(x,y)$ est un point du segment $[P_1,P_2]$, alors il existe un réel $\lambda\in[0,1]$ tel que : $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2,y=\lambda y_1+(1-\lambda)y_2$.

On a donc : $y\ge\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$.

L’hypothèse de convexité entraîne alors : $\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\ge f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)=f(x)$,

d’où $y\ge f(x)$ et le point $P$ appartient à $E_f$.

Condition suffisante

On suppose que $E_f$ est convexe, ainsi, si $M_1(x_1,f(x_1))$ et $M_2(x_2,f(x_2))$ sont des points de $C_f$ , ils appartiennent à $E_f$ et le segment $[M_1,M_2]$ est inclus dans $E_f$.

Soit \lambda\in[0,1], alors le point $P(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2,\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2))$ appartient au segment $[M_1,M_2]$ et donc à $E_f$, d’où :

$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$.

On fait un raisonnement par récurrence sur $n$.

La propriété est vraie pour $n = 1$ et $n = 2$. Supposons la propriété vraie pour un rang $n\ge2$.

Soient $x_1, x_2 …x_{n+1} n + 1$ points de $I$ et $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{n+1} n + 1$ réels strictement positifs tels que $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n+1}}\lambda_i=1$.

On définit $y$ par l’égalité : $\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\lambda_i\right)y=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\lambda_ix_i$, on pose $\mu=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\lambda_i$. On a alors : $f\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n+1}}\lambda_ix_i\right)=f(\mu y+\lambda_{n+1}x_{n+1})\le\mu f(y)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$

en raison de la propriété à l’ordre 2 ; d’autre part , d’après l’hypothèse de récurrence, $f(y)=f\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\frac{\lambda_i}\mu x_i\right)\le\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\frac{\lambda_i}\mu f(x_i)$.

On obtient donc $f\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n+1}}\lambda_ix_i\right)\le\displaystyle{\sum_{i=1}^{n+1}}\lambda_if(x_i)$.