Fonctions convexes

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\mathcal I\) et \(x_0\) un point de \(\mathcal I\). On considère la fonction

\(\displaystyle{\emptyset :x\mapsto f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)}\)

Si la fonction \(\emptyset\) est positive (resp négative) au voisinage de \(x_0\) alors il existe un intervalle ouvert \(\mathcal J\) contenant \(x_0\) tel que la fonction\( f\) est convexe(resp concave) sur \(\mathcal J\) .

En revanche si \(\emptyset\) change de signe en \(x_0\), alors la courbe traverse sa tangente et présente un point d'inflexion. Il y a changement de concavité en \(x_0\). Dans le cas où \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathcal I\) alors la dérivée seconde \(f''\) s'annule et change de signe en \(x_0\).

Exemple : le graphe de la fonction cube a un point d'inflexion à l'origine.

Une autre fonction avec un point d'inflexion

On reviendra sur ce point en étudiant les développements limités.

Signalons ici les inégalités classiques de Hölder et de Minkowski, la première se déduisant de l'inégalité de Jensen et la seconde de la première. Nous ne donnons pas les démonstrations, qui ne sont pas difficiles mais assez techniques et qui seront vues dans des cours ultérieurs. On considère :

\(\displaystyle{n\in\mathcal N^*,(p,q)\in]1,\infty[^2}\) avec\( \displaystyle{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}\)

Alors : \(\displaystyle{\forall(x_1,x_2\cdots x_n)\in\mathbf R^n,\forall(y_1,y_2\cdots y_n)\in\mathbf R^n}\) on a :

Inégalité de Hölder :

\(\displaystyle{\left\vert\sum_{k=1}^{n}x_ky_k\right\vert\leq\left(\sum_{k=1}^{n}\vert x_k\vert^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{n}\vert y_k\vert^q\right)^{\tfrac{1}{q}}}\)

Inégalité de Minkowski :

\(\displaystyle{\left(\sum_{k=1}^{n}\vert x_k+y_k\vert^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}\vert x_k\vert^p\right)^{\tfrac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{n}\vert y_k\vert^p\right)^{\tfrac{1}{p}}}\)

Ces inégalités sont particulièrement intéressantes dans le cas particulier\( p=q=2\), l'inégalité de Hölder devient :

Inégalité de Cauchy-Schwarz

\(\displaystyle{\left\vert\sum_{k=1}^{n}x_{k} y_{k}\right\vert\leq\sqrt{\left(\sum_{k=1}^{n}x^{2}_{k}\right)}\sqrt{\left(\sum_{k=1}^{n}y^{2}_{k}\right)}}\)

et l'inégalité de Minkowski :

\(\displaystyle{\left(\sum_{k=1}^{n}(x_k+y_k)^2\right)^{\tfrac{1}{2}}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}x_k^2\right)^{\tfrac{1}{2}}+\left(\sum_{k=1}^{n}y_k^2\right)^{\tfrac{1}{2}}}\)

inégalité qui exprime l'inégalité triangulaire dans \(\mathbf R^n\).

Un disque est convexe

un croissant (de lune par exemple) n'est pas convexe

un polygone étoilé n'est pas convexe

ce pentagone est convexe