Fonctions convexes

Durée : 4 mn

Note maximale : 4

Question

  1. On considère la fonction f : \(x\rightarrow x^3+ax^2+bx+c\) , \(((a,b,c)\in\mathbb R^3)\). Déterminer \(a, b, c\) pour que \(f\) soit convexe sur \([0,+\infty[\) et concave sur \(]-\infty,0[\).

  2. On considère la fonction f : \(x\rightarrow ax^3+bx , (a\in\mathbb R*, b\in\mathbb R)\). Étudier la convexité de \(f\) suivant les valeurs de \(a\) et \(b\).

Solution

Démonstration

  1. La fonction \(f\) est deux fois continûment dérivable et \(f "(x)=6x+2a\).

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    Pour avoir \(f''(x)>0\) pour \(x>0\) et \(f''(x)<0\) pour \(x<0\) il faut et il suffit que \(a = 0\).

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  2. On a \(f''(x)=6ax\).

    Sur \(]-\infty,0[\) la fonction est convexe si \(a < 0\), concave si \(a >0\) ; sur \(]0,+\infty[\) la fonction est concave si \(a < 0\), convexe si \(a >0\). \(b\) n'intervient pas (une fonction affine est à la fois concave et convexe).