Fonctions convexes
Durée : 4 mn
Note maximale : 4
Question
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ; montrer que cette fonction est concave. En déduire que si \(x\) et \(y\) sont des réels strictement supérieurs à 1, on a
\(\ln\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{\ln x\ln y}\).
Solution
Démonstration
La fonction \(x\rightarrow\ln(\ln x)\) est définie si \(lnx > 0\) c’est à dire si \(x > 1\), et elle est deux fois dérivable sur \(]1,+\infty[\).
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On a \(f''(x)=-\frac{\ln x+1}{(x\ln x)^2}<0\). La fonction est donc concave.
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De la propriété que les cordes sont en dessous du graphe on déduit :
\(\ln\left(\ln\frac{x_1+x_2}{2}\right)\ge\frac{1}{2}(\ln(\ln x_1)+\ln(\ln x_2))=\ln\sqrt{\ln x_1\ln x_2}\)
la croissance de la fonction logarithme permet de conclure.