Fonctions convexes
Durée : 5 mn
Note maximale : 5
Question
Soit \(\Phi\) une fonction affine sur un intervalle \(I \); on suppose qu’il existe deux fonctions \(f\) et \(g\) convexes sur \(I\) telles que \(\Phi=f +g\) ; montrer que \(f\) et \(g\) sont affines.
Solution
Démonstration
On peut utiliser une démonstration par l’absurde : on suppose \(f\) par exemple non affine. Il existe alors un couple \((x_1 ,x_2)\) de points de \(I\) et un réel \(\lambda\) tels que :
\(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\) (inégalité stricte).
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D’autre part :
\(g(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda g(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)\)
d’où en additionnant : \(\phi(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)<\lambda\phi(x_1)+(1-\lambda)\phi(x_2)\)
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ce qui est en contradiction avec l’hypothèse \(\Phi\) affine. Les fonctions \(f\) et \(g\) sont donc affines.
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