Théorème des fonctions réciproques

Rappel du théorème dit " des fonctions réciproques " que cet exercice se propose d'illustrer

Soit \(f\) une fonction continue strictement monotone sur un intervalle \(I.\) Alors

1) \(f(I)\) est un intervalle \(J\) de même nature que \(I\) (fermé, ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de\( f\) aux extrémités de \(I.\)

2) La fonction \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(J = f(I)\); plus précisément, \(f\) définit une bijection de l'intervalle \(I\) sur l'intervalle \(J,\) donc il existe une fonction notée \(f^{-1}~\textrm{de}~J\) dans \(I,\) telle que

\(\begin{array} {|l|}\hline x \in I\\ y = f(x) \\ \hline \end{array}~~\Leftrightarrow~~\begin{array} {|l|}\hline y \in J\\ x = f^{-1}(y) \\ \hline \end{array}\)

3) La fonction réciproque \(f^{-1}\)est continue et strictement monotone sur \(J,\) de même sens de monotonie que \(f.\)

4) De plus, si \(f\) est dérivable en un point \(x_0\) de \(I\) et si \(f'(x_0)\)est non nul, \(f^{-1}\)est dérivable au point \(y_0 = f(x_0)~\textrm{et}~(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.\)

(6 pts)

Soit \(x\in[0,1].\) On peut écrire \(f(x)=\frac{2(x+1)-1}{x+1}\)d'où \(f(x)=2-\frac{1}{x+1}.\)

Il est alors clair que \(f\) est continue et strictement croissante.

Ces deux propriétés permettent d'affirmer que \(f([0,1]) = [f(0), f(1)] = [1,\frac{3}{2}].\)

Donc \(f\) établit une bijection entre \(I=[0,1]\)et \(J=[1,\frac{3}{2}].\) Le théorème permet alors d'affirmer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\)définie et continue sur \([1,\frac{3}{2}].\)

(4 pts)

Si \(x\) est élément de \([0,1]\)et \(y\) élément de \([1,\frac{3}{2}],\) on a l'équivalence :

\(y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)\)

Donc, pour trouver \(f^{-1},\) on procède de la façon suivante :

étant donné un élément quelconque \(y\) de \([1,\frac{3}{2}],\) on détermine un élément \(x\) de\([0,1]\) tel que \(y=2-\frac{1}{x+1}.\)

Cette égalité équivaut à \(\frac{1}{x+1}=2-y,\) qui équivaut à \(x=\frac{1}{2-y}-1=\frac{y-1}{2-y}.\)

Ce qui permet de donner la fonction \(f^{-1}\):\(\begin{array}{r c l}f^{-1} :[1,\frac{3}{2}] & \rightarrow & [0,1]\\t&\mapsto& \frac{t-1}{2-t}\end{array}\)

ATTENTION !

L'application \(f,\) au sens algèbrique du terme, c'est-à-dire le triplet \((f,[0,1],\mathbb R)\)n'admet pas une application réciproque au sens algèbrique puisque elle n'est pas surjective (l'image de \(f\) n'est pas \(\mathbb R).\) Bien relire les termes du thèorème des fonctions réciproques pour éviter les confusions.