Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (2) [Théorème des fonctions réciproques]

Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (2)

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soit \(f\) la fonction définie de la manière suivante : \(f :\begin{array}{|r c l} [1,3] &\rightarrow& \mathbb R\\x&\mapsto& \frac{x^3+1}{x^2+1}\end{array}\)

a. Montrer que \(f\) est strictement croissante. (3 pts)

Calculer \(f(2).\) (1 pt)

b. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(g\) définie sur un intervalle à déterminer. (4 pts)

Montrer que \(g\) est dérivable au point \(\frac{9}{5}.\) (1 pt)

Calculer \(g'(\frac{9}{5}).\) (1 pt)

Solution

Rappel du théorème dit " des fonctions réciproques " que cet exercice se propose d'illustrer

Soit \(f\) une fonction continue strictement monotone sur un intervalle \(I.\) Alors

1) \(f(I)\) est un intervalle \(J\) de même nature que \(I\) (fermé, ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de\( f\) aux extrémités de \(I.\)

2) La fonction \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(J = f(I)\); plus précisément, \(f\) définit une bijection de l'intervalle \(I\) sur l'intervalle \(J,\) donc il existe une fonction notée \(f^{-1}~\textrm{de}~J\) dans \(I,\) telle que

\(\begin{array} {|l|}\hline x \in I\\ y = f(x) \\ \hline \end{array}~~\Leftrightarrow~~\begin{array} {|l|}\hline y \in J\\ x = f^{-1}(y) \\ \hline \end{array}\)

3) La fonction réciproque \(f^{-1}\)est continue et strictement monotone sur \(J,\) de même sens de monotonie que \(f.\)

4) De plus, si \(f\) est dérivable en un point \(x_0\) de \(I\) et si \(f'(x_0)\)est non nul, \(f^{-1}\)est dérivable au point \(y_0 = f(x_0)~\textrm{et}~(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.\)

a. (3+1 pts) La fonction \(f\) est dérivable en tout point intérieur à \(\mathbb I\) comme composée de fonctions dérivables. On a, tous calculs faits, \(f'(x)=\frac{x(x^3+3x-2)}{(x^2+1)^2}.\) Comme \(x\) est supérieur ou égal à \(1\) il est immédiat que \(f'(x)\)est strictement positif. Ceci prouve que la fonction \(f\) est strictement croissante

sur \(\mathbb I=[1,3]\)et que \(f(\mathbb I) = \mathbb J = [f(1), f(3)] = [1,\frac{14}{5}].\)

De plus, \(f(2)=\frac{9}{5}.\)

b. (4+1+1 pts) Donc \(f\) admet une fonction réciproque \(g\) définie sur \([1,\frac{14}{5}].\) Comme \(\frac{9}{5}\)appartient à l'intervalle \(]1,\frac{14}{5}[,\) \(g\) est bien définie au point \(\frac{9}{5}.\)

On a vu que \(f(2)=\frac{9}{5}\)et que la dérivée de \(f\) en \(2\) est non nulle.

Donc \(g\) est dérivable au point \(\frac{9}{5}\) et on a \(g'(\frac{9}{5}) = \frac{1}{f'(2)}.\)

Comme \(f'(2)=\frac{24}{25},\) on a \(g'(\frac{9}{5}) = \frac{25}{24}.\)