Propriétés
Conséquence de la définition
\(\forall x \in \mathbb R ~~-1 \leq \cos{x} \leq 1\)
\(\forall x \in \mathbb R ~~-1 \leq \sin{x} \leq 1\)
Lien entre les fonctions sinus et cosinus
\(\forall x \in \mathbb R ~~\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1\)
Explication :
Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle \(OPM.\)
Parité
La fonction cosinus est paire.
Les fonctions sinus et tangente sont impaires.
Explication :
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur \(\mathbb R.\) Leur ensemble de définition est bien centré en \(0.\)
Soient \(M\) et \(M'\) les points images des réels \(x\) et \(-x\) sur le cercle \(C.\) Ces points sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont donc même abscisse et des ordonnées opposées.
La fonction tangente, quotient d'une fonction impaire par une fonction paire est donc impaire.
Lien entre les fonctions cosinus et tangente
\(\forall x \in \mathbb R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb Z\}~~1 +\tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}\)
Explication :
\(\forall x \in \mathbb R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb Z\}~~\cos^2{x} \neq 0\)
On divise l'égalité \(\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1\) par \(\cos^2{x}\)d'où
\(\forall x \in \mathbb R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb Z\}~~1 + \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} = \frac{1}{\cos^2{x}}\)
Valeurs remarquables
\(\begin{array}{|*{10}{c|}}\hline x & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\ \hline\sin{x} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline\cos{x} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline\tan{x} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & Non défini \\ \hline \end{array}\)