Fonctions usuelles et leurs réciproques

Première méthode : utilisation des définitions

On veut montrer que, pour $x \in [-1, 1]~~~~\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x.$

Soit $x \in [-1, 1],$ d'une part, $\sin(\frac{\pi}{2} - \arccos x) = \cos(\arccos x) = x~~~~(1).$

D'autre part, comme $\arccos x \in [0, \pi],$ $\frac{\pi}{2} - \arccos x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]~~~~(2).$

De $(1)$ et $(2)$ on peut conclure que $\frac{\pi}{2} - \arccos x = \arcsin x.$

Deuxième méthode : utilisation des dérivées

La fonction $g : x \rightarrow \arcsin x + \arccos x$ est dérivable sur $]-1, 1[$et sa dérivée est nulle. La fonction $g$ est donc constante sur cet intervalle.

Or, $g(0) = \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$

donc $\forall x \in ]-1, 1[~~~~g(x) = \frac{\pi}{2}.$

Or, on a $g(1) = \arcsin 1 + \arccos 1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$

et $g(-1) = \arcsin(-1) + \arccos(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}.$

D'où $\forall x \in [-1, 1]~~~~\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.$