Fonctions usuelles et leurs réciproques

Première méthode : utilisation des définitions

On veut montrer que, pour \(x \in [-1, 1]~~~~\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x.\)

Soit \(x \in [-1, 1],\) d'une part, \(\sin(\frac{\pi}{2} - \arccos x) = \cos(\arccos x) = x~~~~(1).\)

D'autre part, comme \(\arccos x \in [0, \pi],\) \(\frac{\pi}{2} - \arccos x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]~~~~(2).\)

De \((1)\) et \((2)\) on peut conclure que \(\frac{\pi}{2} - \arccos x = \arcsin x.\)

Deuxième méthode : utilisation des dérivées

La fonction \(g : x \rightarrow \arcsin x + \arccos x\) est dérivable sur \(]-1, 1[\)et sa dérivée est nulle. La fonction \(g\) est donc constante sur cet intervalle.

Or, \(g(0) = \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.\)

donc \(\forall x \in ]-1, 1[~~~~g(x) = \frac{\pi}{2}.\)

Or, on a \(g(1) = \arcsin 1 + \arccos 1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}\)

et \(g(-1) = \arcsin(-1) + \arccos(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}.\)

D'où \(\forall x \in [-1, 1]~~~~\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.\)