Fonctions usuelles et leurs réciproques

Ces propositions se déduisent de la proposition \(1\) précédente.

\((1)\) \(\forall b >0,\forall x > 0~~\ln x = \frac{1}{b}\ln x^b,\) d'où \(\frac{\ln x}{x^b} = \frac{1}{b}\frac{\ln x^b}{x^b}\)avec \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}x^b = +\infty,\) la proposition \(1\) permet de conclure.

\((2)\) \(\forall x>0~~\frac{1}{x^b} = (\frac{1}{x})^b,\) d'où \(x^b\ln x = -\frac{\ln(\frac{1}{x})}{(\frac{1}{x})^b}\)avec \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}) = +\infty,\) on est ramené au cas précédent

\((3)\) Traitons d'abord le cas \(b = 1, a > 1~~\frac{a^x}{x}=\frac{e^{x \ln a}}{x} = \ln a \frac{e^{x\ln a}}{x \ln a}\) avec \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}(x\ln a) = +\infty,\) la proposition \(1\) permet de conclure.

Cas général : \(\forall b > 0\)la fonction \(x \mapsto x^b\)réalise une bijection de \(]1, +\infty[\)sur lui-même, donc le réel \(a\)possède un antécédent \(\alpha\)autrement dit \(\exists \alpha > 1, a = \alpha^b\)

alors \(\frac{a^x}{x^b} = \frac{\alpha^{bx}}{x^b} = (\frac{\alpha^x}{x})^b\) et \(\displaystyle \lim_{y \rightarrow +\infty}y^b = +\infty,\) ce qui permet de conclure.

\((4)\) \(\forall x<0,\forall n\in \mathbb N^*~~|x^na^x| = \frac{(-x)^n}{a^{-x}}\)avec \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}(-x) = +\infty,\) on est ramené au cas précédent.