Exercice n°1
Partie
Question
La résolution de l'équation \(26 x + 22 y = 1\) est-elle possible ?
Si oui, combien a t-elle de solutions avec \(5 \leq x \leq 20\) ?
Solution détaillée
On va résoudre l'équation : \(26x + 22y = 1\)
Calcul du \(\textrm {pgcd} (a,b) :\)
Dans la colonne de gauche du tableau, on décrit l'algorithme d'Euclide.
Dans la colonne de droite, on résoud pas à pas l'équation \(26x + 22y = \textrm {pgcd} (26 , 22).\) On cherche des coefficients \(u\) et \(v\) satisfaisant aux conditions, et on montre comment on peut les calculer.
Algorithme d'Euclide | Résolution de l'équation |
\(26 = 1 . 22 + 4\) | \(4 = 1.a -1.b\) |
\(22 = 5 . 4 + 2\) | \(2 = 22 - 5 . 4\) \(2 = (0.a +1.b) - 5.(1.a -1.b)\) \(2 = -5.a +6.b\) |
\(4 = 2 . 2 + 0\) |
On obtient alors le résultat suivant :
\(\textrm {pgcd} (26, 22) = 2 = -5.a +6.b\)
Condition de possibilité :
Si le \(\textrm {pgcd} (26 , 22)\) ne divise pas le second membre, l'équation est impossible.
Ici \(\textrm {pgcd} (26 , 22) = 2\)
\(\textrm {pgcd} (26 , 22)\) ne divise pas \(1,\) l'équation n'a pas de solution.