Exercice n°2
Partie
Question
La résolution de l'équation \(26 x + 22 y = 2\) est-elle possible ?
Si oui, combien a t-elle de solutions avec \(5 \leq x \leq 20\) ?
Solution détaillée
On va résoudre l'équation : \(26x + 22y = 2\)
Calcul du pgcd (a,b) :
Dans la colonne de gauche du tableau, on décrit l'algorithme d'Euclide.
Dans la colonne de droite, on résoud pas à pas l'équation \(26x + 22y = \textrm {pgcd} (26 , 22).\) On cherche des coefficients \(u\) et \(v\) satisfaisant aux conditions, et on montre comment on peut les calculer.
Algorithme d'Euclide | Résolution de l'équation |
\(26 = 1 . 22 + 4\) | \(4 = 1.a -1.b\) |
\(22 = 5 . 4 + 2\) | \(2 = 22 - 5 . 4\) \(2 = (0.a +1.b) - 5.(1.a -1.b)\) \(2 = -5.a +6.b\) |
\(4 = 2 . 2 + 0\) |
On obtient alors le résultat suivant :
\(\textrm {pgcd} (26, 22) = 2 = -5.a +6.b\)
2 est une solution exacte.
Condition de possibilité :
Si le \(\textrm {pgcd} (26 , 22)\) ne divise pas le second membre, l'équation est impossible.
Ici \(\textrm {pgcd} (26 , 22) = 2\)
Comme \(\textrm {pgcd} (26 , 22)\) divise \(2\) l'équation a des solutions.
On simplifie l'équation par \(\textrm {pgcd} (26 , 22)\)
L'équation donnée est équivalente à :
\(13x + 11y = 1\)
Calcul d'une solution particulière de l'équation :
\(13x + 11y = 1\) simplifiée.
On a obtenu une solution vérifiant :
\(13(-5) + 11\times 6 = 1\)
Donc le couple \((-5 , 6)\) est solution de l'équation :
\(13u + 11v = 1\)
Calcul de toutes les solutions :
Comme \((13 , 11)\) sont premiers entre eux, toutes les solutions de \(13u + 11v = 0\) sont données par \((11k , - 13k) \quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z .\)
Conclusion :
Toutes les solutions de l'équation initiale sont :
\((-5 + 11k , 6- 13k)\) avec \(\quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z .\)