Équations diophantiennes

On va résoudre l'équation : $26x + 22y = 4$

Calcul du pgcd (a,b) :

Dans la colonne de gauche du tableau, on décrit l'algorithme d'Euclide.

Dans la colonne de droite, on résoud pas à pas l'équation $26x + 22y = \textrm {pgcd} (26 , 22).$ On cherche des coefficients $u$ et $v$ satisfaisant aux conditions, et on montre comment on peut les calculer.

On obtient alors le résultat suivant :

$\textrm {pgcd} (26, 22) = 2 = -5.a +6.b$

2 est une solution exacte.

Condition de possibilité :

Si le $\textrm {pgcd} (26 , 22)$ ne divise pas le second membre, l'équation est impossible.

Ici $\textrm {pgcd} (26 , 22) = 2$

Comme $\textrm {pgcd} (26 , 22)$ divise $4$ l'équation a des solutions.

On simplifie l'équation par $\textrm {pgcd} (26 , 22)$

L'équation donnée est équivalente à :

$13x + 11y = 1$

Calcul d'une solution particulière de l'équation :

$13x + 11y = 2$ simplifiée.

On a obtenu une solution vérifiant :

$13(-5) + 11\times 6 = 1$

Donc le couple $(-10 , 12)$ est solution de l'équation :

$13u + 11v = 2$

Calcul de toutes les solutions :

Comme $(13 , 11)$ sont premiers entre eux, toutes les solutions de $13u + 11v = 0$ sont données par $(11k , - 13k) \quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z .$

Conclusion :

Toutes les solutions de l'équation initiale sont :

$(-10 + 11k , 12- 13k)$ avec $\quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z .$